בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תרגול רמה 3 | אתגר | כיתה י׳, 4 יחידות

תרגול אתגר בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 4 יחידות: 4 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מקצוע: מתמטיקה
כיתה: כיתה י
סוג: דף תרגול
פורמטים: אינטראקטיבי | הדפסה

פתח חומר

דף תרגול

בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תרגול רמה 3 | אתגר | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז

תרגול אתגר בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 4 יחידות: 4 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

נענו 0 מתוך 4 שאלות

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

מיריעה ⁦12×12⁩ ס״מ; חותכים ריבועים בצלע x ומקפלים קופסה. מצאו נפח מרבי.

תחום: ⁦0 < x < 6⁩ כי הבסיס ⁦12 − 2x⁩ חיובי.
⁦V(x) = x(12 − 2x)² = 4x³ − 48x² + 144x⁩.
⁦V′(x) = 12(x − 2)(x − 6)⁩; בתחום רק ⁦x = 2⁩.
⁦V(2) = 128⁩ סמ״ק; בקצוות הנפח 0.

תשובה: נפח מרבי 128 סמ״ק כש־⁦x = 2⁩ ס״מ

1

ההכנסה היא ⁦R(x) = 50x − 5x²⁩ והעלות היא 10x. תלמיד גזר את ההכנסה, מצא ⁦x = 5⁩ וקבע ששם הרווח מרבי. מהי הטעות?

אין טעות; ⁦x = 5⁩ נכוןהיה צריך לגזור את העלות בלבדגזר את ההכנסה במקום את הרווח; הרווח הוא הכנסה פחות עלותהרווח תמיד מרבי כשהעלות מינימלית

רמז

הרווח הוא ⁦P(x) = R(x) − 10x = 40x − 5x²⁩.

2

לקופסה פתוחה מלמעלה בסיס ריבועי שצלעו x וגובה h. שטח הפנים (בסיס וארבע פאות) הוא 48 סמ״ר: ⁦x² + 4xh = 48⁩. הנפח הוא ⁦V(x) = 12x − $\frac{x^3}{4}$ ⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

רמז

⁦h = $\frac{48 - x²}{4x}$ ⁩, והצבה ב־⁦V = x²h⁩ נותנת ⁦V(x) = 12x − $\frac{x^3}{4}$ ⁩.

3

סכום כל 12 המקצועות של תיבה שבסיסה ריבוע שצלעו x הוא 48 ס״מ: ⁦8x + 4h = 48⁩. הנפח הוא ⁦V(x) = 12x² − 2x³⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

רמז

⁦h = 12 − 2x⁩, והתחום ⁦0 < x < 6⁩.

4

בקופסה מיריעה ⁦12×12⁩ קיבלנו ⁦V′(x) = 12(x − 2)(x − 6)⁩, כלומר נקודות קריטיות ⁦x = 2⁩ ו־⁦x = 6⁩. תלמיד בחר ⁦x = 6⁩. מהי הטעות?

⁦x = 6⁩ מחוץ לתחום ⁦0 < x < 6⁩ ונותן נפח 0אין טעות; ⁦x = 6⁩ נכוןהיה צריך לבחור ⁦x = 0⁩שתי הנקודות נותנות אותו נפח

רמז

הבסיס הוא ⁦12 − 2x⁩.

דף תרגול

בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תרגול רמה 3 | אתגר | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז

תרגול אתגר בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 4 יחידות: 4 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

לבנות פונקציית מטרה פולינומית מהקשר מילולי
לקבוע תחום חוקי מתוך ההקשר ולבדוק קצוות
לפתור בעיות קיצון מספריות, כלכליות ומרחביות ולענות במבוקש

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

מיריעה ⁦12×12⁩ ס״מ; חותכים ריבועים בצלע x ומקפלים קופסה. מצאו נפח מרבי.

תחום: ⁦0 < x < 6⁩ כי הבסיס ⁦12 − 2x⁩ חיובי.
⁦V(x) = x(12 − 2x)² = 4x³ − 48x² + 144x⁩.
⁦V′(x) = 12(x − 2)(x − 6)⁩; בתחום רק ⁦x = 2⁩.
⁦V(2) = 128⁩ סמ״ק; בקצוות הנפח 0.

תשובה: נפח מרבי 128 סמ״ק כש־⁦x = 2⁩ ס״מ

תרגול

ההכנסה היא ⁦R(x) = 50x − 5x²⁩ והעלות היא 10x. תלמיד גזר את ההכנסה, מצא ⁦x = 5⁩ וקבע ששם הרווח מרבי. מהי הטעות?
1. אין טעות; ⁦x = 5⁩ נכון
2. היה צריך לגזור את העלות בלבד
3. גזר את ההכנסה במקום את הרווח; הרווח הוא הכנסה פחות עלות
4. הרווח תמיד מרבי כשהעלות מינימלית
לקופסה פתוחה מלמעלה בסיס ריבועי שצלעו x וגובה h. שטח הפנים (בסיס וארבע פאות) הוא 48 סמ״ר: ⁦x² + 4xh = 48⁩. הנפח הוא ⁦V(x) = 12x − $\frac{x^3}{4}$ ⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
סכום כל 12 המקצועות של תיבה שבסיסה ריבוע שצלעו x הוא 48 ס״מ: ⁦8x + 4h = 48⁩. הנפח הוא ⁦V(x) = 12x² − 2x³⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
בקופסה מיריעה ⁦12×12⁩ קיבלנו ⁦V′(x) = 12(x − 2)(x − 6)⁩, כלומר נקודות קריטיות ⁦x = 2⁩ ו־⁦x = 6⁩. תלמיד בחר ⁦x = 6⁩. מהי הטעות?
1. ⁦x = 6⁩ מחוץ לתחום ⁦0 < x < 6⁩ ונותן נפח 0
2. אין טעות; ⁦x = 6⁩ נכון
3. היה צריך לבחור ⁦x = 0⁩
4. שתי הנקודות נותנות אותו נפח

תשובות לתרגול

גזר את ההכנסה במקום את הרווח; הרווח הוא הכנסה פחות עלות
1. הרווח הוא ⁦P(x) = R(x) − 10x = 40x − 5x²⁩.
2. ⁦P′(x) = 40 − 10x = 0⁩ נותן ⁦x = 4⁩, לא 5.
32
1. מהאילוץ: ⁦h = $\frac{48 - x²}{4x}$ ⁩, והצבה ב־⁦V = x²h⁩ נותנת ⁦V(x) = 12x − $\frac{x^3}{4}$ ⁩.
2. ⁦V′(x) = 12 − 3x²/4 = 0⁩ נותן ⁦x² = 16⁩, כלומר ⁦x = 4⁩.
3. ⁦h = $\frac{48 - 16}{16}$ = 2⁩, חיובי ותקין.
4. ⁦V(4) = 16 · 2 = 32⁩ סמ״ק.
64
1. מהאילוץ: ⁦h = 12 − 2x⁩, והתחום ⁦0 < x < 6⁩.
2. ⁦V′(x) = 24x − 6x² = 6x(4 − x) = 0⁩ נותן ⁦x = 4⁩ בתוך התחום.
3. ⁦h = 12 − 8 = 4⁩, חיובי.
4. ⁦V(4) = 16 · 4 = 64⁩ סמ״ק.
⁦x = 6⁩ מחוץ לתחום ⁦0 < x < 6⁩ ונותן נפח 0
1. הבסיס הוא ⁦12 − 2x⁩, ולכן x חייב להיות קטן מ־6.
2. ב־⁦x = 6⁩ הבסיס הוא 0 והנפח 0; המקסימום הוא ב־⁦x = 2⁩.

השלב הבא

דף סיכום

לפעילויות התרגול ולעזרה בנושא הזה מדריך קצר להורים ולמורים: איך לתרגל יחד

חינם, ללא הרשמהמעבר לגרסת הדפסה

אין קובץ שמור לחומר הזה. שמירה כ-PDF מתבצעת דרך גרסת ההדפסה, בחלון ההדפסה של הדפדפן.

המורה החכם | מתמטיקה

המורה עונה רק מתוך חומרים ומאמרים שנבדקו. אין כאן תחזית ציון. אל תכתבו פרטים אישיים בשאלה.

שאלה (לא חובה)

לפי אותו מקצוע, כיתה ונושא שנרשמו לחומר הזה.