דף תרגול

בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תרגול רמה 3 | אתגר | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז

תרגול אתגר בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 4 יחידות: 4 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

מיריעה ⁦12×12⁩ ס״מ; חותכים ריבועים בצלע x ומקפלים קופסה. מצאו נפח מרבי.

תשובה: נפח מרבי 128 סמ״ק כש־⁦x = 2⁩ ס״מ

ההכנסה היא ⁦R(x) = 50x − 5x²⁩ והעלות היא 10x. תלמיד גזר את ההכנסה, מצא ⁦x = 5⁩ וקבע ששם הרווח מרבי. מהי הטעות?
1. אין טעות; ⁦x = 5⁩ נכון
2. היה צריך לגזור את העלות בלבד
3. גזר את ההכנסה במקום את הרווח; הרווח הוא הכנסה פחות עלות
4. הרווח תמיד מרבי כשהעלות מינימלית
לקופסה פתוחה מלמעלה בסיס ריבועי שצלעו x וגובה h. שטח הפנים (בסיס וארבע פאות) הוא 48 סמ״ר: ⁦x² + 4xh = 48⁩. הנפח הוא ⁦V(x) = 12x − $\frac{x^3}{4}$ ⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
סכום כל 12 המקצועות של תיבה שבסיסה ריבוע שצלעו x הוא 48 ס״מ: ⁦8x + 4h = 48⁩. הנפח הוא ⁦V(x) = 12x² − 2x³⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
בקופסה מיריעה ⁦12×12⁩ קיבלנו ⁦V′(x) = 12(x − 2)(x − 6)⁩, כלומר נקודות קריטיות ⁦x = 2⁩ ו־⁦x = 6⁩. תלמיד בחר ⁦x = 6⁩. מהי הטעות?
1. ⁦x = 6⁩ מחוץ לתחום ⁦0 < x < 6⁩ ונותן נפח 0
2. אין טעות; ⁦x = 6⁩ נכון
3. היה צריך לבחור ⁦x = 0⁩
4. שתי הנקודות נותנות אותו נפח

גזר את ההכנסה במקום את הרווח; הרווח הוא הכנסה פחות עלות
1. הרווח הוא ⁦P(x) = R(x) − 10x = 40x − 5x²⁩.
2. ⁦P′(x) = 40 − 10x = 0⁩ נותן ⁦x = 4⁩, לא 5.
32
1. מהאילוץ: ⁦h = $\frac{48 - x²}{4x}$ ⁩, והצבה ב־⁦V = x²h⁩ נותנת ⁦V(x) = 12x − $\frac{x^3}{4}$ ⁩.
2. ⁦V′(x) = 12 − 3x²/4 = 0⁩ נותן ⁦x² = 16⁩, כלומר ⁦x = 4⁩.
3. ⁦h = $\frac{48 - 16}{16}$ = 2⁩, חיובי ותקין.
4. ⁦V(4) = 16 · 2 = 32⁩ סמ״ק.
64
1. מהאילוץ: ⁦h = 12 − 2x⁩, והתחום ⁦0 < x < 6⁩.
2. ⁦V′(x) = 24x − 6x² = 6x(4 − x) = 0⁩ נותן ⁦x = 4⁩ בתוך התחום.
3. ⁦h = 12 − 8 = 4⁩, חיובי.
4. ⁦V(4) = 16 · 4 = 64⁩ סמ״ק.
⁦x = 6⁩ מחוץ לתחום ⁦0 < x < 6⁩ ונותן נפח 0
1. הבסיס הוא ⁦12 − 2x⁩, ולכן x חייב להיות קטן מ־6.
2. ב־⁦x = 6⁩ הבסיס הוא 0 והנפח 0; המקסימום הוא ב־⁦x = 2⁩.