פונקציה רציונלית | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | פונקציה רציונלית | תשפ״ז
שיעור וארבע דוגמאות פתורות בפונקציה רציונלית לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.
השיעור
תחום ושורשים
פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים. היא לא מוגדרת במקומות שבהם המכנה 0. שורש: המונה 0 והמכנה לא.
אסימפטוטות
אסימפטוטה אנכית x = a כשהמכנה מתאפס ב־a והמונה לא. אסימפטוטה אופקית: אם מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, y = 0. אם המעלות שוות, y = יחס המקדמים המובילים.
נגזרת
כלל המנה: (u ÷ v)′ = (u′v − uv′) ÷ v². מקרה שימושי: (a/x)′ = −a/x². מכנה הנגזרת תמיד חיובי (ריבוע), ולכן הסימן נקבע מהמונה.
קיצון
מוצאים נקודות שבהן f′ = 0, ובודקים סימן משני הצדדים. נקודה שאינה בתחום מחלקת אותו לחלקים, ולכן גם תחומי עלייה וירידה נכתבים בנפרד בכל צד שלה.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | תחום ואסימפטוטות
f(x) = (x + 2)/(x − 4).
תחום: x ≠ 4.
אסימפטוטה אנכית x = 4.
מעלות שוות: אסימפטוטה אופקית y = 1.
תשובה: x ≠ 4, x = 4, y = 1
דוגמה 2 | כלל המנה
גזרו את f(x) = (2x)/(x − 1).
u = 2x, v = x − 1.
f′ = (2(x − 1) − 2x) ÷ (x − 1)² = −2 ÷ (x − 1)².
תשובה: f′(x) = −2 ÷ (x − 1)²
דוגמה 3 | קיצון
מצאו קיצון של f(x) = x + 1/x.
f′(x) = 1 − 1/x² = 0, x = ±1.
ב־x = 1 מינימום, f(1) = 2.
ב־x = −1 מקסימום, f(−1) = −2.
תשובה: מינימום (1, 2), מקסימום (−1, −2)
דוגמה 4 | בעיית קיצון
מספר חיובי x: מתי x + 9/x מינימלי?
f′(x) = 1 − 9/x² = 0, x = 3.
משמאל f′ < 0 ומימין f′ > 0.
הערך המינימלי 3 + 3 = 6.
תשובה: x = 3, ערך 6