פונקציה רציונלית | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות | גרסת הדפסה

שיעור וארבע דוגמאות פתורות בפונקציה רציונלית לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.

השיעור

תחום ושורשים

פונקציה רציונלית היא מנה של שני פולינומים. היא לא מוגדרת במקומות שבהם המכנה 0. שורש: המונה 0 והמכנה לא.

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית ⁦x = a⁩ כשהמכנה מתאפס ב־a והמונה לא. אסימפטוטה אופקית: אם מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, ⁦y = 0⁩. אם המעלות שוות, y = יחס המקדמים המובילים.

נגזרת

כלל המנה: ⁦(u ÷ v)⁩′ = (u′⁦v − uv⁩′) ÷ ⁦v²⁩. מקרה שימושי: ⁦(a/x)⁩′ = ⁦−a/x²⁩. מכנה הנגזרת תמיד חיובי (ריבוע), ולכן הסימן נקבע מהמונה.

קיצון

מוצאים נקודות שבהן f′ = 0, ובודקים סימן משני הצדדים. נקודה שאינה בתחום מחלקת אותו לחלקים, ולכן גם תחומי עלייה וירידה נכתבים בנפרד בכל צד שלה.

דוגמאות פתורות

דוגמה 1 | תחום ואסימפטוטות

⁦f(x) = (x + 2)/(x − 4)⁩.

תחום: x ≠ 4.
אסימפטוטה אנכית ⁦x = 4⁩.
מעלות שוות: אסימפטוטה אופקית ⁦y = 1⁩.

תשובה: x ≠ ⁦4, x = 4, y = 1⁩

דוגמה 2 | כלל המנה

גזרו את ⁦f(x) = (2x)/(x − 1)⁩.

⁦u = 2x, v = x − 1⁩.
f′ = ⁦(2(x − 1) − 2x) ÷ (x − 1)² = −2 ÷ (x − 1)²⁩.

תשובה: f′⁦(x) = −2 ÷ (x − 1)²⁩

דוגמה 3 | קיצון

מצאו קיצון של ⁦f(x) = x + 1/x⁩.

f′⁦(x) = 1 − 1/x² = 0, x⁩ = ±1.
ב־⁦x = 1⁩ מינימום, ⁦f(1) = 2⁩.
ב־⁦x = −1⁩ מקסימום, ⁦f(−1) = −2⁩.

תשובה: מינימום ⁦(1, 2)⁩, מקסימום ⁦(−1, −2)⁩

דוגמה 4 | בעיית קיצון

מספר חיובי x: מתי ⁦x + 9/x⁩ מינימלי?

f′⁦(x) = 1 − 9/x² = 0, x = 3⁩.
משמאל f′ < 0 ומימין f′ > 0.
הערך המינימלי ⁦3 + 3 = 6⁩.