בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | דף עבודה להדפסה | 10 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז
דף עבודה להדפסה בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 5 יחידות: 10 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.
לפני שמתחילים
בהקשר פיזיקלי כותבים קודם את היחידות: גובה במטרים וזמן בשניות, והנגזרת היא קצב שינוי. בכל בעיה: משתנה, תחום, מטרה, נגזרת, קריטיות, קצוות, סיווג, תשובה במבוקש.
תזכורת
- משתנה + יחידות, תחום חוקי, מטרה פולינומית.
- נגזרת, קריטיות בתחום, השוואת קצוות בתחום סגור.
- סיווג, הצבה בחזרה, תשובה במבוקש עם יחידות.
- מספרי: סכום קבוע, מכפלה או סכום ריבועים.
שאלות
שאלה 1
מהו הערך הגדול ביותר של הביטוי x²(18 − x) עבור 0 ≤ x ≤ 18?
..........................................................
..........................................................
שאלה 2
סכום של שני מספרים חיוביים הוא 15. מהו הערך הגדול ביותר של מכפלת האחד בריבוע השני?
..........................................................
..........................................................
שאלה 3
f(x) = x³ − 6x² + 1 בתחום 0 ≤ x ≤ 5, ו־f′(x) = 3x(x − 4). מהו הערך הגדול ביותר של f בתחום?
..........................................................
..........................................................
שאלה 4
ההכנסה היא R(x) = 100x − 2x² שקלים והעלות היא C(x) = 28x + 50 שקלים. מהו הרווח הגדול ביותר?
..........................................................
..........................................................
שאלה 5
הרווח השבועי הוא P(x) = −x³ + 12x² + 60x − 200 שקלים, כאשר x מספר היחידות. מהו הרווח הגדול ביותר?
..........................................................
..........................................................
שאלה 6
גובה של כדור נתון ב־h(t) = −5t² + 20t + 1 מטרים, כאשר t בשניות. מהו הגובה המרבי (במטרים)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 7
מהירות של גוף היא v(t) = −3t² + 12t מטרים לשנייה, 0 ≤ t ≤ 4. מהי המהירות הגדולה ביותר (במטרים לשנייה)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 8
מיקום של גוף הוא s(t) = t³ − 6t² + 9t מטרים, 0 ≤ t ≤ 3 שניות. מהו הערך הגדול ביותר של s בפרק הזמן הזה?
..........................................................
..........................................................
שאלה 9
מיריעה ריבועית שצלעה 24 ס״מ חותכים בפינות ריבועים בצלע x ומקפלים קופסה פתוחה. V(x) = x(24 − 2x)². מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 10
סכום כל מקצועות תיבה שבסיסה ריבוע שצלעו x הוא 72 ס״מ: 8x + 4h = 72. הנפח הוא V(x) = 18x² − 2x³. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
..........................................................
..........................................................
פתרונות מלאים
הצגת פתרון מלא
שאלה 1: 864
-
f(x) = 18x² − x³, ולכן f′(x) = 36x − 3x² = 3x(12 − x).
-
נקודות קריטיות: x = 0 ו־x = 12, שתיהן בתחום הסגור.
-
f(0) = 0, f(12) = 144 · 6 = 864, f(18) = 0; המקסימום הוא 864.
הצגת פתרון מלא
שאלה 2: 500
-
נסמן את המספר המוכפל בריבוע ב־y; השני הוא 15 − y.
-
f(y) = (15 − y)y² = 15y² − y³, ו־f′(y) = 30y − 3y² = 3y(10 − y).
-
בתחום 0 < y < 15 הנקודה הקריטית היא y = 10.
-
f(10) = 5 · 100 = 500.
הצגת פתרון מלא
שאלה 3: 1
-
נקודות קריטיות: x = 0 ו־x = 4.
-
f(0) = 1, f(4) = 64 − 96 + 1 = −31, ובקצה f(5) = 125 − 150 + 1 = −24.
-
הגדול מכולם הוא 1, בקצה x = 0; בלי בדיקת קצוות מפספסים אותו.
הצגת פתרון מלא
שאלה 4: 598
-
הרווח: P(x) = R(x) − C(x) = −2x² + 72x − 50.
-
P′(x) = −4x + 72 = 0 נותן x = 18.
-
P(18) = −648 + 1296 − 50 = 598 שקלים.
הצגת פתרון מלא
שאלה 5: 600
-
P′(x) = −3x² + 24x + 60 = −3(x − 10)(x + 2).
-
הנקודה הקריטית החיובית היא x = 10.
-
P(10) = −1000 + 1200 + 600 − 200 = 600 שקלים.
הצגת פתרון מלא
שאלה 6: 21
-
h′(t) = −10t + 20 = 0 נותן t = 2 שניות.
-
h(2) = −20 + 40 + 1 = 21 מטרים.
הצגת פתרון מלא
שאלה 7: 12
-
v′(t) = −6t + 12 = 0 נותן t = 2.
-
v(2) = −12 + 24 = 12 מטרים לשנייה.
הצגת פתרון מלא
שאלה 8: 4
-
s′(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3).
-
s(0) = 0, s(1) = 1 − 6 + 9 = 4, s(3) = 27 − 54 + 27 = 0.
-
המקסימום הוא 4 מטרים ב־t = 1.
הצגת פתרון מלא
שאלה 9: 1024
-
התחום 0 < x < 12; V′(x) = 12(x − 4)(x − 12), ובתחום רק x = 4.
-
V(4) = 4 · 16² = 1024 סמ״ק.
הצגת פתרון מלא
שאלה 10: 216
-
h = 18 − 2x, והתחום 0 < x < 9.
-
V′(x) = 36x − 6x² = 6x(6 − x) נותן x = 6, ואז h = 6.
-
V(6) = 36 · 6 = 216 סמ״ק.