בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז
שיעור בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 5 יחידות: ההסבר, ואחריו 4 דוגמאות פתורות שלב אחר שלב.
השיעור
לולאת המידול המלאה
שמונה שלבים: משתנה ויחידות; תחום חוקי מהמציאות; פונקציית מטרה פולינומית אחת; נגזרת; נקודות קריטיות בתוך התחום; השוואת קצוות בתחום סגור; סיווג מקסימום או מינימום; תשובה במבוקש עם יחידות. דילוג על שלב הקצוות הוא הטעות הנפוצה ביותר.
הקשר פיזיקלי
כשהגובה h(t) נתון במטרים ו־t בשניות, הנגזרת h′(t) היא קצב השינוי במטרים לשנייה. מקסימום גובה מתקבל כש־h′(t) = 0 בתוך פרק הזמן, ובודקים גם את קצוות הפרק.
כלכלי ומרחבי בדרגת 5 יחידות
פונקציות רווח יכולות להיות ממעלה שלישית: מפרקים את הנגזרת לגורמים ובוחרים את הנקודה החיובית המתאימה. בגאומטריית המרחב מבודדים משתנה מהאילוץ ומציבים, ובסוף בודקים שכל המידות חיוביות.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | הקשר מספרי
מצאו את הערך הגדול ביותר של x²(18 − x) בתחום 0 ≤ x ≤ 18.
f(x) = 18x² − x³, ו־f′(x) = 3x(12 − x).
קריטיות: x = 0 ו־x = 12; קצוות: 0 ו־18.
f(0) = 0, f(12) = 864, f(18) = 0.
תשובה: המקסימום הוא 864 ב־x = 12
דוגמה 2 | רווח ממעלה שלישית
P(x) = −x³ + 12x² + 60x − 200 שקלים. מצאו את הרווח המרבי.
P′(x) = −3x² + 24x + 60 = −3(x − 10)(x + 2).
הנקודה החיובית היא x = 10; הנגזרת חיובית לפניה ושלילית אחריה.
P(10) = 600 שקלים.
תשובה: רווח מרבי 600 שקלים ב־10 יחידות
דוגמה 3 | הקשר פיזיקלי
h(t) = −5t² + 20t + 1 מטרים. מצאו את הגובה המרבי ואת זמן החזרה לגובה ההתחלה.
h′(t) = −10t + 20 = 0 נותן t = 2, ו־h(2) = 21 מטרים.
חזרה לגובה 1: −5t² + 20t = 0, כלומר t = 0 או t = 4.
תשובה: גובה מרבי 21 מטרים; חזרה אחרי 4 שניות
דוגמה 4 | קופסה מיריעה 24
מיריעה 24×24 ס״מ; חותכים ריבועים בצלע x. מצאו נפח מרבי.
תחום: 0 < x < 12.
V(x) = x(24 − 2x)², ו־V′(x) = 12(x − 4)(x − 12).
בתחום רק x = 4; V(4) = 1024 סמ״ק.
תשובה: נפח מרבי 1024 סמ״ק כש־x = 4 ס״מ