דף תרגול

בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | דף עבודה להדפסה | 10 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז

דף עבודה להדפסה בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 5 יחידות: 10 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.

מטרות הלמידה

לבנות ולפתור מודל קיצון פולינומי בארבעה הקשרים
להשוות נקודות קריטיות וקצוות בתחום סגור
לפרש נגזרת כקצב שינוי עם יחידות נכונות

לפני שמתחילים

בהקשר פיזיקלי כותבים קודם את היחידות: גובה במטרים וזמן בשניות, והנגזרת היא קצב שינוי. בכל בעיה: משתנה, תחום, מטרה, נגזרת, קריטיות, קצוות, סיווג, תשובה במבוקש.

תזכורת

משתנה + יחידות, תחום חוקי, מטרה פולינומית.
נגזרת, קריטיות בתחום, השוואת קצוות בתחום סגור.
סיווג, הצבה בחזרה, תשובה במבוקש עם יחידות.
מספרי: סכום קבוע, מכפלה או סכום ריבועים.

שאלות

שאלה 1

מהו הערך הגדול ביותר של הביטוי ⁦x²(18 − x)⁩ עבור ⁦0 ≤ x ≤ 18⁩?

..........................................................

שאלה 2

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 15. מהו הערך הגדול ביותר של מכפלת האחד בריבוע השני?

..........................................................

שאלה 3

⁦f(x) = x³ − 6x² + 1⁩ בתחום ⁦0 ≤ x ≤ 5⁩, ו־⁦f′(x) = 3x(x − 4)⁩. מהו הערך הגדול ביותר של f בתחום?

..........................................................

שאלה 4

ההכנסה היא ⁦R(x) = 100x − 2x²⁩ שקלים והעלות היא ⁦C(x) = 28x + 50⁩ שקלים. מהו הרווח הגדול ביותר?

..........................................................

שאלה 5

הרווח השבועי הוא ⁦P(x) = −x³ + 12x² + 60x − 200⁩ שקלים, כאשר x מספר היחידות. מהו הרווח הגדול ביותר?

..........................................................

שאלה 6

גובה של כדור נתון ב־⁦h(t) = −5t² + 20t + 1⁩ מטרים, כאשר t בשניות. מהו הגובה המרבי (במטרים)?

..........................................................

שאלה 7

מהירות של גוף היא ⁦v(t) = −3t² + 12t⁩ מטרים לשנייה, ⁦0 ≤ t ≤ 4⁩. מהי המהירות הגדולה ביותר (במטרים לשנייה)?

..........................................................

שאלה 8

מיקום של גוף הוא ⁦s(t) = t³ − 6t² + 9t⁩ מטרים, ⁦0 ≤ t ≤ 3⁩ שניות. מהו הערך הגדול ביותר של s בפרק הזמן הזה?

..........................................................

שאלה 9

מיריעה ריבועית שצלעה 24 ס״מ חותכים בפינות ריבועים בצלע x ומקפלים קופסה פתוחה. ⁦V(x) = x(24 − 2x)²⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

..........................................................

שאלה 10

סכום כל מקצועות תיבה שבסיסה ריבוע שצלעו x הוא 72 ס״מ: ⁦8x + 4h = 72⁩. הנפח הוא ⁦V(x) = 18x² − 2x³⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

..........................................................

פתרונות

הצגת פתרון מלא

שאלה 1: 864

⁦f(x) = 18x² − x³⁩, ולכן ⁦f′(x) = 36x − 3x² = 3x(12 − x)⁩.
נקודות קריטיות: ⁦x = 0⁩ ו־⁦x = 12⁩, שתיהן בתחום הסגור.
⁦f(0) = 0, f(12) = 144 · 6 = 864, f(18) = 0⁩; המקסימום הוא 864.

הצגת פתרון מלא

שאלה 2: 500

נסמן את המספר המוכפל בריבוע ב־y; השני הוא ⁦15 − y⁩.
⁦f(y) = (15 − y)y² = 15y² − y³⁩, ו־⁦f′(y) = 30y − 3y² = 3y(10 − y)⁩.
בתחום ⁦0 < y < 15⁩ הנקודה הקריטית היא ⁦y = 10⁩.
⁦f(10) = 5 · 100 = 500⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 3: 1

נקודות קריטיות: ⁦x = 0⁩ ו־⁦x = 4⁩.
⁦f(0) = 1, f(4) = 64 − 96 + 1 = −31⁩, ובקצה ⁦f(5) = 125 − 150 + 1 = −24⁩.
הגדול מכולם הוא 1, בקצה ⁦x = 0⁩; בלי בדיקת קצוות מפספסים אותו.

הצגת פתרון מלא

שאלה 4: 598

הרווח: ⁦P(x) = R(x) − C(x) = −2x² + 72x − 50⁩.
⁦P′(x) = −4x + 72 = 0⁩ נותן ⁦x = 18⁩.
⁦P(18) = −648 + 1296 − 50 = 598⁩ שקלים.

הצגת פתרון מלא

שאלה 5: 600

⁦P′(x) = −3x² + 24x + 60 = −3(x − 10)(x + 2)⁩.
הנקודה הקריטית החיובית היא ⁦x = 10⁩.
⁦P(10) = −1000 + 1200 + 600 − 200 = 600⁩ שקלים.

הצגת פתרון מלא

שאלה 6: 21

⁦h′(t) = −10t + 20 = 0⁩ נותן ⁦t = 2⁩ שניות.
⁦h(2) = −20 + 40 + 1 = 21⁩ מטרים.

הצגת פתרון מלא

שאלה 7: 12

⁦v′(t) = −6t + 12 = 0⁩ נותן ⁦t = 2⁩.
⁦v(2) = −12 + 24 = 12⁩ מטרים לשנייה.

הצגת פתרון מלא

שאלה 8: 4

⁦s′(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3)⁩.
⁦s(0) = 0, s(1) = 1 − 6 + 9 = 4, s(3) = 27 − 54 + 27 = 0⁩.
המקסימום הוא 4 מטרים ב־⁦t = 1⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 9: 1024

התחום ⁦0 < x < 12⁩; ⁦V′(x) = 12(x − 4)(x − 12)⁩, ובתחום רק ⁦x = 4⁩.
⁦V(4) = 4 · 16² = 1024⁩ סמ״ק.

הצגת פתרון מלא

שאלה 10: 216

⁦h = 18 − 2x⁩, והתחום ⁦0 < x < 9⁩.
⁦V′(x) = 36x − 6x² = 6x(6 − x)⁩ נותן ⁦x = 6⁩, ואז ⁦h = 6⁩.
⁦V(6) = 36 · 6 = 216⁩ סמ״ק.