בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | תרגול רמה 2 | ביסוס | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז
תרגול ביסוס בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 5 יחידות: 8 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.
נענו 0 מתוך 8 שאלות
לפני שמתחילים
דוגמה פתורה לפני שמתחילים
P(x) = −x³ + 12x² + 60x − 200 שקלים. מצאו את הרווח המרבי.
P′(x) = −3x² + 24x + 60 = −3(x − 10)(x + 2).
הנקודה החיובית היא x = 10; הנגזרת חיובית לפניה ושלילית אחריה.
P(10) = 600 שקלים.
תשובה: רווח מרבי 600 שקלים ב־10 יחידות
סכום של שני מספרים חיוביים הוא 15. מהו הערך הגדול ביותר של מכפלת האחד בריבוע השני?
רמז
נסמן את המספר המוכפל בריבוע ב־y; השני הוא 15 − y.
מהו הערך הקטן ביותר של f(x) = x³ − 12x + 1 בתחום 0 ≤ x ≤ 3?
רמז
f′(x) = 3x² − 12 = 0 נותן x = 2 בתחום.
ההכנסה היא R(x) = 100x − 2x² שקלים והעלות היא C(x) = 28x + 50 שקלים. מהו הרווח הגדול ביותר?
רמז
P(x) = R(x) − C(x) = −2x² + 72x − 50.
הרווח השבועי הוא P(x) = −x³ + 12x² + 60x − 200 שקלים, כאשר x מספר היחידות. מהו הרווח הגדול ביותר?
רמז
P′(x) = −3x² + 24x + 60 = −3(x − 10)(x + 2).
מהירות של גוף היא v(t) = −3t² + 12t מטרים לשנייה, 0 ≤ t ≤ 4. מהי המהירות הגדולה ביותר (במטרים לשנייה)?
רמז
בהקשר פיזיקלי כותבים קודם את היחידות: גובה במטרים וזמן בשניות, והנגזרת היא קצב שינוי. בכל בעיה: משתנה, תחום, מטרה, נגזרת, קריטיות, קצוות, סיווג, תשובה במבוקש.
מיקום של גוף הוא s(t) = t³ − 6t² + 9t מטרים, 0 ≤ t ≤ 3 שניות. מהו הערך הגדול ביותר של s בפרק הזמן הזה?
רמז
s′(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3).
מיריעה ריבועית שצלעה 24 ס״מ חותכים בפינות ריבועים בצלע x ומקפלים קופסה פתוחה. V(x) = x(24 − 2x)². מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
רמז
התחום 0 < x < 12; V′(x) = 12(x − 4)(x − 12), ובתחום רק x = 4.
קופסה פתוחה מלמעלה עם בסיס ריבועי שצלעו x וגובה h; שטח הפנים 27 סמ״ר: x² + 4xh = 27. הנפח הוא V(x) = . מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
רמז
V′(x) = = 0 נותן x² = 9, כלומר x = 3.