דף תרגול

בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | תרגול רמה 2 | ביסוס | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז

תרגול ביסוס בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 5 יחידות: 8 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

לבנות ולפתור מודל קיצון פולינומי בארבעה הקשרים
להשוות נקודות קריטיות וקצוות בתחום סגור
לפרש נגזרת כקצב שינוי עם יחידות נכונות

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

⁦P(x) = −x³ + 12x² + 60x − 200⁩ שקלים. מצאו את הרווח המרבי.

⁦P′(x) = −3x² + 24x + 60 = −3(x − 10)(x + 2)⁩.
הנקודה החיובית היא ⁦x = 10⁩; הנגזרת חיובית לפניה ושלילית אחריה.
⁦P(10) = 600⁩ שקלים.

תשובה: רווח מרבי 600 שקלים ב־10 יחידות

תרגול

סכום של שני מספרים חיוביים הוא 15. מהו הערך הגדול ביותר של מכפלת האחד בריבוע השני?
מהו הערך הקטן ביותר של ⁦f(x) = x³ − 12x + 1⁩ בתחום ⁦0 ≤ x ≤ 3⁩?
ההכנסה היא ⁦R(x) = 100x − 2x²⁩ שקלים והעלות היא ⁦C(x) = 28x + 50⁩ שקלים. מהו הרווח הגדול ביותר?
הרווח השבועי הוא ⁦P(x) = −x³ + 12x² + 60x − 200⁩ שקלים, כאשר x מספר היחידות. מהו הרווח הגדול ביותר?
מהירות של גוף היא ⁦v(t) = −3t² + 12t⁩ מטרים לשנייה, ⁦0 ≤ t ≤ 4⁩. מהי המהירות הגדולה ביותר (במטרים לשנייה)?
מיקום של גוף הוא ⁦s(t) = t³ − 6t² + 9t⁩ מטרים, ⁦0 ≤ t ≤ 3⁩ שניות. מהו הערך הגדול ביותר של s בפרק הזמן הזה?
מיריעה ריבועית שצלעה 24 ס״מ חותכים בפינות ריבועים בצלע x ומקפלים קופסה פתוחה. ⁦V(x) = x(24 − 2x)²⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
קופסה פתוחה מלמעלה עם בסיס ריבועי שצלעו x וגובה h; שטח הפנים 27 סמ״ר: ⁦x² + 4xh = 27⁩. הנפח הוא ⁦V(x) = $\frac{27x - x³}{4}$ ⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

תשובות לתרגול

500
1. נסמן את המספר המוכפל בריבוע ב־y; השני הוא ⁦15 − y⁩.
2. ⁦f(y) = (15 − y)y² = 15y² − y³⁩, ו־⁦f′(y) = 30y − 3y² = 3y(10 − y)⁩.
3. בתחום ⁦0 < y < 15⁩ הנקודה הקריטית היא ⁦y = 10⁩.
4. ⁦f(10) = 5 · 100 = 500⁩.
-15
1. ⁦f′(x) = 3x² − 12 = 0⁩ נותן ⁦x = 2⁩ בתחום.
2. ⁦f(2) = 8 − 24 + 1 = −15⁩.
3. בקצוות: ⁦f(0) = 1⁩ ו־⁦f(3) = −8⁩, ולכן ⁦−15⁩ הוא המינימום.
598
1. הרווח: ⁦P(x) = R(x) − C(x) = −2x² + 72x − 50⁩.
2. ⁦P′(x) = −4x + 72 = 0⁩ נותן ⁦x = 18⁩.
3. ⁦P(18) = −648 + 1296 − 50 = 598⁩ שקלים.
600
1. ⁦P′(x) = −3x² + 24x + 60 = −3(x − 10)(x + 2)⁩.
2. הנקודה הקריטית החיובית היא ⁦x = 10⁩.
3. ⁦P(10) = −1000 + 1200 + 600 − 200 = 600⁩ שקלים.
12
1. ⁦v′(t) = −6t + 12 = 0⁩ נותן ⁦t = 2⁩.
2. ⁦v(2) = −12 + 24 = 12⁩ מטרים לשנייה.
4
1. ⁦s′(t) = 3t² − 12t + 9 = 3(t − 1)(t − 3)⁩.
2. ⁦s(0) = 0, s(1) = 1 − 6 + 9 = 4, s(3) = 27 − 54 + 27 = 0⁩.
3. המקסימום הוא 4 מטרים ב־⁦t = 1⁩.
1024
1. התחום ⁦0 < x < 12⁩; ⁦V′(x) = 12(x − 4)(x − 12)⁩, ובתחום רק ⁦x = 4⁩.
2. ⁦V(4) = 4 · 16² = 1024⁩ סמ״ק.
13.5
1. ⁦V′(x) = $\frac{27 - 3x²}{4}$ = 0⁩ נותן ⁦x² = 9⁩, כלומר ⁦x = 3⁩.
2. ⁦h = $\frac{27 - 9}{12}$ = 1.5⁩, חיובי ותקין.
3. ⁦V(3) = $\frac{81 - 27}{4}$ = 13.5⁩ סמ״ק.