חשבון דיפרנציאלי | תרגול 4 | אתגר | חקירה וקיצון רב־שלבי | כיתה י׳, 5 יחידות

תשובות לתרגול

1. אפסים 0,3; מקסימום (0,0), מינימום (2,−4); משיק y=−3x+1

   1. זהו פולינום ולכן התחום כל הממשיים. מפרקים f=x²(x−3): חיתוכי x הם 0 ו־3; חיתוך y הוא (0,0).

   2. f′=3x(x−2). סימנים: חיובי לפני 0, שלילי בין 0 ל־2, חיובי אחרי 2. לכן מקסימום מקומי (0,0) ומינימום מקומי (2,−4).

   3. ב־x=1 מתקבלים f(1)=−2 ו־f′(1)=−3. המשיק y+2=−3(x−1), כלומר y=−3x+1. הסימנים והחיתוכים מספיקים לסקיצה, בלי להסיק קעירות.

2. זוגית; אפסים 0,±√2; מינימום (±1,−1), מקסימום (0,0)

   1. f(−x)=f(x), לכן הגרף סימטרי לציר y. מפרקים x²(x²−2): אפסים 0 ו־±√2; התחום כל הממשיים.

   2. גוזרים f′=4x(x−1)(x+1). סימנים משמאל לימין: שלילי לפני −1, חיובי בין −1 ל־0, שלילי בין 0 ל־1, חיובי אחרי 1.

   3. לכן מינימום ב־±1 עם ערך −1 ומקסימום מקומי ב־0 עם ערך 0. המינימום גם מוחלט כי x⁴−2x²=(x²−1)²−1≥−1.

3. y=4x−4 או y=−4x−4

   1. נסמן את שיעור ההשקה a. נקודת ההשקה (a,a²), שיפוע 2a, ולכן המשיק y=2ax−a².

   2. מציבים את הנקודה הנתונה: −4=−a², כלומר a=±2. לכן המשיקים y=4x−4 ו־y=−4x−4. הנקודה החיצונית אינה נקודת ההשקה.

4. f′=(2x−1)(6x−1); מקסימום (1/6,2/27); מינימום (1/2,0)

   1. משלבים מכפלה והרכבה: f′=(2x−1)²+x·2(2x−1)·2=(2x−1)(6x−1).

   2. האפסים 1/6 ו־1/2. סימן הנגזרת חיובי לפני 1/6, שלילי ביניהם וחיובי אחרי 1/2.

   3. לכן מקסימום מקומי ב־1/6: ערך (1/6)·(−2/3)²=2/27. מינימום מקומי ב־1/2 עם ערך 0. אלה אינם קיצונים מוחלטים על כל הממשיים.

5. a=12; מקסימום מקומי (−2,16); מינימום (2,−16)

   1. נגזרת f′=3x²−a. תנאי הכרחי ב־2: 12−a=0, לכן a=12. מתקבל f′=3(x−2)(x+2).

   2. סימני הנגזרת חיובי, שלילי, חיובי; לכן ב־−2 מקסימום וב־2 מינימום. מחשבים f(−2)=16 ו־f(2)=−16. תנאי החלפת הסימן מאמת את הנתון.

6. 8 יחידות שטח ב־x=2

   1. הניצבים הם x ו־12−x², לכן S(x)=x(12−x²)/2. התחום מבטיח אורכים לא־שליליים; בקצותיו מתקבל שטח אפס.

   2. גוזרים S′=6−1.5x². האפס בתחום x=2. הנגזרת חיובית לפני 2 ושלילית אחריו ולכן מקסימום.

   3. מחשבים S(2)=2(12−4)/2=8 ומשווים לקצוות 0. זה מודל גאומטריה במישור לכיתה י׳, לא מיפוי לשאלון בגרות.

7. מינימום −4 ב־x=√2; מקסימום 45 ב־x=3

   1. f′=4x(x²−2). שורשי הנגזרת −√2,0,√2; הראשון קטן מ־−1 ולכן מחוץ לתחום הנבדק.

   2. בודקים 0,√2 ואת הקצוות −1,3: הערכים הם 0,−4,−3,45 בהתאמה.

   3. לכן המינימום המוחלט −4 ב־√2 והמקסימום 45 ב־3. השוואת ערכים חיונית כי קצה יכול לתת קיצון בלי נגזרת אפס.

8. אותה נגזרת; מקסימום (−1,7), מינימום (1,3); האפסים אינם נשמרים

   1. תוספת קבוע אינה משנה נגזרת: g′=f′=3x²−3. לכן שיעורי x של הקיצון ותחומי השינוי זהים.

   2. ערכי y עולים ב־5: מ־(−1,2) ל־(−1,7) ומ־(1,−2) ל־(1,3). חיתוכי x אינם נשמרים; למשל g(0)=5 ולא 0.