חשבון דיפרנציאלי | תרגול 1 | יסודות | משמעות וגזירה | כיתה י׳, 5 יחידות

תשובות לתרגול

1. 6

   1. הנגזרת נותנת את קצב השינוי בנקודה, ולא את ערך הפונקציה: f′(x)=2x.

   2. מציבים בנגזרת x=3 ומקבלים f′(3)=2·3=6. ערך הפונקציה הוא 9 ואינו השיפוע.

2. 4

   1. מחשבים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע: f(1)=1 ו־f(3)=9.

   2. קצב השינוי הממוצע הוא (9−1)/(3−1)=4. זהו שיפוע מיתר ולא הנגזרת בקצה.

3. 0

   1. הפונקציה קבועה, ולכן בכל מעבר בין שתי נקודות השינוי בערך הפונקציה הוא אפס.

   2. מחלקים שינוי אפס בהפרש x שאינו אפס ומקבלים אפס; גם הגבול אפס, ולכן f′(x)=0.

4. 12x³−4x

   1. גוזרים כל איבר בנפרד: נגזרת 3x⁴ היא 12x³ ונגזרת −2x² היא −4x.

   2. נגזרת הקבוע 5 היא אפס. מחברים ומקבלים f′(x)=12x³−4x; המעריך קטן באחת.

5. -3

   1. בפונקציה קווית השיפוע קבוע ושווה למקדם x. כאן f′(x)=−3 בכל התחום.

   2. לכן גם ב־x=−2 שיפוע המשיק הוא −3. אין צורך להציב בפונקציה כדי למצוא שיפוע.

6. 4+h; הגבול 4

   1. פותחים (2+h)²=4+4h+h²; מחסרים f(2)=4 ומקבלים 4h+h².

   2. מוציאים h ומצמצמים רק כאשר h≠0: הביטוי 4+h. כש־h מתקרב לאפס מתקבל 4, ולכן f′(2)=4.

7. 2

   1. משיק אופקי פירושו שיפוע אפס, לכן מחפשים f′(x)=0 ולא f(x)=0.

   2. גוזרים: f′(x)=2x−4. פותרים 2x−4=0 ומקבלים x=2; ערך הפונקציה שם −3.

8. סנטימטרים רבועים לכל סנטימטר

   1. הנגזרת היא גבול של מנה: שינוי בערך f חלקי שינוי ב־x. לכן גם היחידות מתחלקות באותו סדר.

   2. מתקבל סמ״ר לכל ס״מ, שאפשר לצמצם לס״מ. חשוב לשמור את משמעות היחס ולא לכתוב סמ״ר בלבד.