חשבון דיפרנציאלי | ארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי | תשפ״ז
ארבע דוגמאות פתורות בחשבון דיפרנציאלי לכיתה י׳, 5 יחידות: משמעות הנגזרת, פולינומים, מכפלה והרכבה, משיק, חקירה וקיצון, עם פתרונות מלאים.
כל צעד והסיבה שלו
דוגמה 1 | מהגדרת הנגזרת למשיק
עבור f(x)=x²+2 מצאו את f′(1) מן ההגדרה ואת משוואת המשיק.
מחשבים f(1)=3. עבור h≠0, המנה [(1+h)²+2−3]/h=(2h+h²)/h=2+h.
כאשר h מתקרב לאפס המנה מתקרבת ל־2, ולכן f′(1)=2. זה שיפוע המשיק ולא ערך הפונקציה.
המשיק דרך (1,3): y−3=2(x−1), ולכן y=2x+1. בדיקה בהצבת 1 נותנת 3.
תשובה: f′(1)=2; y=2x+1
דוגמה 2 | מכפלה והרכבה יחד
גזרו f(x)=(x+1)(x²−2)² והוציאו גורם משותף.
יש מכפלה של שני גורמים; גוזרים אחד ומשאירים את השני, ואז מחליפים: f′=(x²−2)²+(x+1)·2(x²−2)·2x.
בגורם השני השתמשנו בכלל השרשרת: נגזרת הפנימית x²−2 היא 2x.
מוציאים x²−2: מתקבל f′=(x²−2)[x²−2+4x(x+1)]=(x²−2)(5x²+4x−2). אפשר לפתוח לבדיקה אך אין צורך.
תשובה: f′(x)=(x²−2)(5x²+4x−2)
דוגמה 3 | חקירה והקשר לגרף הנגזרת
חקרו f(x)=x³−3x ומצאו משיק ב־x=0.
התחום כל הממשיים. f=x(x²−3), ולכן האפסים −√3,0,√3. הפונקציה אי־זוגית, כי f(−x)=−f(x).
f′=3(x−1)(x+1). הנגזרת חיובית ב־x<−1 וב־x>1 ושלילית בין −1 ל־1. זה בדיוק הקשר בין מיקום גרף הנגזרת מעל או מתחת לציר x לבין עלייה או ירידה של f.
ב־−1 יש מקסימום מקומי עם ערך 2; ב־1 מינימום מקומי עם ערך −2. משתמשים בהחלפת סימן, לא רק בנגזרת אפס.
f(0)=0 ו־f′(0)=−3, ולכן המשיק y=−3x. גרף f והמשיק נפגשים בראשית אבל אינם אותו גרף.
תשובה: מקסימום (−1,2), מינימום (1,−2); משיק y=−3x.
דוגמה 4 | שטח מרבי עם תחום
מלבן בעל היקף 24 ס״מ. מצאו את המידות לשטח מרבי.
אם צלע אחת x, השנייה 12−x מתוך 2x+2y=24. צלעות חיוביות נותנות 0<x<12.
פונקציית השטח A=x(12−x)=12x−x²; נגזרתה A′=12−2x. האפס הוא 6.
לפני 6 הנגזרת חיובית ואחריו שלילית, ולכן זה מקסימום. שתי הצלעות 6 ס״מ והשטח 36 סמ״ר.
בקצוות המורחבים 0 ו־12 השטח אפס. אין צורך בנגזרת שנייה; סימן הנגזרת מספק הוכחה. זה תרגול כיתה י׳ בגאומטריה במישור, לא הבטחה למבנה שאלון בגרות.
תשובה: ריבוע 6×6 ס״מ; שטח מרבי 36 סמ״ר.