דף תרגול

חשבון דיפרנציאלי | תרגול 4 | אתגר | חקירה וקיצון רב־שלבי | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי | תשפ״ז

תרגול 4 | אתגר | חקירה וקיצון רב־שלבי בחשבון דיפרנציאלי לכיתה י׳, 5 יחידות: משמעות הנגזרת, פולינומים, מכפלה והרכבה, משיק, חקירה וקיצון, עם פתרונות מלאים.

מטרות הלמידה

להבחין בין שינוי ממוצע לנגזרת בנקודה
לגזור פולינום, מכפלה והרכבה
למצוא משיק מנקודה ושיפוע
לחקור תחומי שינוי וקיצון בעזרת סימני הנגזרת
לבנות ולפתור קיצון פולינומי בגאומטריה במישור עם תחום ויחידות

לפני שמתחילים

עבדו על דף וכתבו את הגזירה ואת הנימוק. בשאלה מספרית הקלידו מספר בלבד. במשוואה או בתשובה רב־סעיפית השוו כל חלק לפתרון המלא: הבדיקה האוטומטית משווה טקסט בדיוק ואינה מאמתת שקילות אלגברית או הוכחה. הרמות הן רמות הוראה, לא ציוני בגרות. לפולינום התחום כל הממשיים אלא אם מצוין אחרת; בקיצון גאומטרי התחום נקבע לפי המידות.

תרגול

חקרו f(x)=x³−3x²: תחום, חיתוכי צירים, תחומי שינוי וקיצון. כתבו גם משיק ב־x=1.
חקרו את f(x)=x⁴−2x²: אפסים, סימטריה, תחומי עלייה/ירידה וקיצון.
לפרבולה f(x)=x² מצאו את שני המשיקים העוברים בנקודה (0,−4).
נתונה f(x)=x(2x−1)². מצאו נגזרת, נקודות קיצון ותחומי שינוי.
נתונה f(x)=x³−ax. ב־x=2 יש נקודת מינימום מקומי. מצאו a ואת הנקודה השנייה שבה המשיק אופקי, וסווגו.
בין הגרף y=12−x² והצירים נבנה משולש ישר־זווית שקודקודיו (0,0), (x,0), (x,12−x²), כאשר 0≤x≤√12. מצאו שטח מרבי.
ל־f(x)=x⁴−4x² בקטע [−1,3] מצאו קיצונים מוחלטים ונמקו למה x=−√2 אינו מועמד.
נתונות f(x)=x³−3x ו־g(x)=f(x)+5. מה משתנה באפסים, בקיצון ובנגזרת? מצאו את נקודות הקיצון של g.

תשובות לתרגול

אפסים 0,3; מקסימום (0,0), מינימום (2,−4); משיק y=−3x+1
1. זהו פולינום ולכן התחום כל הממשיים. מפרקים f=x²(x−3): חיתוכי x הם 0 ו־3; חיתוך y הוא (0,0).
2. f′=3x(x−2). סימנים: חיובי לפני 0, שלילי בין 0 ל־2, חיובי אחרי 2. לכן מקסימום מקומי (0,0) ומינימום מקומי (2,−4).
3. ב־x=1 מתקבלים f(1)=−2 ו־f′(1)=−3. המשיק y+2=−3(x−1), כלומר y=−3x+1. הסימנים והחיתוכים מספיקים לסקיצה, בלי להסיק קעירות.
זוגית; אפסים 0,±√2; מינימום (±1,−1), מקסימום (0,0)
1. f(−x)=f(x), לכן הגרף סימטרי לציר y. מפרקים x²(x²−2): אפסים 0 ו־±√2; התחום כל הממשיים.
2. גוזרים f′=4x(x−1)(x+1). סימנים משמאל לימין: שלילי לפני −1, חיובי בין −1 ל־0, שלילי בין 0 ל־1, חיובי אחרי 1.
3. לכן מינימום ב־±1 עם ערך −1 ומקסימום מקומי ב־0 עם ערך 0. המינימום גם מוחלט כי x⁴−2x²=(x²−1)²−1≥−1.
y=4x−4 או y=−4x−4
1. נסמן את שיעור ההשקה a. נקודת ההשקה (a,a²), שיפוע 2a, ולכן המשיק y=2ax−a².
2. מציבים את הנקודה הנתונה: −4=−a², כלומר a=±2. לכן המשיקים y=4x−4 ו־y=−4x−4. הנקודה החיצונית אינה נקודת ההשקה.
f′=(2x−1)(6x−1); מקסימום (1/6,2/27); מינימום (1/2,0)
1. משלבים מכפלה והרכבה: f′=(2x−1)²+x·2(2x−1)·2=(2x−1)(6x−1).
2. האפסים 1/6 ו־1/2. סימן הנגזרת חיובי לפני 1/6, שלילי ביניהם וחיובי אחרי 1/2.
3. לכן מקסימום מקומי ב־1/6: ערך (1/6)·(−2/3)²=2/27. מינימום מקומי ב־1/2 עם ערך 0. אלה אינם קיצונים מוחלטים על כל הממשיים.
a=12; מקסימום מקומי (−2,16); מינימום (2,−16)
1. נגזרת f′=3x²−a. תנאי הכרחי ב־2: 12−a=0, לכן a=12. מתקבל f′=3(x−2)(x+2).
2. סימני הנגזרת חיובי, שלילי, חיובי; לכן ב־−2 מקסימום וב־2 מינימום. מחשבים f(−2)=16 ו־f(2)=−16. תנאי החלפת הסימן מאמת את הנתון.
8 יחידות שטח ב־x=2
1. הניצבים הם x ו־12−x², לכן S(x)=x(12−x²)/2. התחום מבטיח אורכים לא־שליליים; בקצותיו מתקבל שטח אפס.
2. גוזרים S′=6−1.5x². האפס בתחום x=2. הנגזרת חיובית לפני 2 ושלילית אחריו ולכן מקסימום.
3. מחשבים S(2)=2(12−4)/2=8 ומשווים לקצוות 0. זה מודל גאומטריה במישור לכיתה י׳, לא מיפוי לשאלון בגרות.
מינימום −4 ב־x=√2; מקסימום 45 ב־x=3
1. f′=4x(x²−2). שורשי הנגזרת −√2,0,√2; הראשון קטן מ־−1 ולכן מחוץ לתחום הנבדק.
2. בודקים 0,√2 ואת הקצוות −1,3: הערכים הם 0,−4,−3,45 בהתאמה.
3. לכן המינימום המוחלט −4 ב־√2 והמקסימום 45 ב־3. השוואת ערכים חיונית כי קצה יכול לתת קיצון בלי נגזרת אפס.
אותה נגזרת; מקסימום (−1,7), מינימום (1,3); האפסים אינם נשמרים
1. תוספת קבוע אינה משנה נגזרת: g′=f′=3x²−3. לכן שיעורי x של הקיצון ותחומי השינוי זהים.
2. ערכי y עולים ב־5: מ־(−1,2) ל־(−1,7) ומ־(1,−2) ל־(1,3). חיתוכי x אינם נשמרים; למשל g(0)=5 ולא 0.