חשבון דיפרנציאלי | תרגול 3 | העמקה | סימנים וניתוח טעויות | כיתה י׳, 5 יחידות

תשובות לתרגול

1. אין קיצון ב־x=1

   1. גוזרים: f′(x)=3(x−1)². הנגזרת אפס ב־1 אבל חיובית בכל נקודה אחרת.

   2. אין החלפת סימן: הפונקציה עולה משני הצדדים, ולכן משיק אופקי אינו מספיק לקיצון. הערכים f(0)=−1 ו־f(2)=1 מראים את המשך העלייה.

2. 3x²+2x

   1. התלמיד כפל את נגזרות הגורמים: 2x·1. בכלל המכפלה צריך סכום שני איברים.

   2. הנגזרת היא 2x(x+1)+x²·1=3x²+2x. אפשר לאמת בפתיחת הפונקציה x³+x² וגזירת כל איבר.

3. 4x(x²+1)

   1. הנגזרת שנכתבה מתייחסת רק לחזקה החיצונית. הפונקציה הפנימית x²+1 משתנה גם היא.

   2. נגזרת הפנימית 2x, ולכן f′=2(x²+1)·2x=4x(x²+1). ב־x=0 הנגזרת אפס, בדיקה שמגלה את החסר.

4. y=3

   1. משווים נגזרת לאפס: f′=2x−4 ולכן x=2. אין זה עדיין ישר המשיק.

   2. מחשבים f(2)=4−8+7=3. משיק אופקי דרך (2,3) הוא y=3; x=2 הוא ישר אנכי ואינו המשיק.

5. יורדת; נמצאת על ציר x

   1. מחשבים שני ערכים שונים: f(0)=0 ולכן הגרף על ציר x; f′(0)=−3 ולכן השיפוע שלילי.

   2. מכאן f יורדת סביב 0 למרות שערכה אפס. סימן f מתאר גובה; סימן f′ מתאר כיוון שינוי.

6. לא; הפונקציה אינה חסומה מלמעלה

   1. f′=3(x−1)(x+1), והסימן משתנה מחיובי לשלילי ב־−1: זה מקסימום מקומי, f(−1)=2.

   2. אבל כאשר x גדל ללא גבול האיבר x³ גובר על −3x, ולכן f גדלה ללא גבול. למשל f(3)=18>2 מפריך מקסימום מוחלט.

7. יורדת x<−1; עולה x>−1; מינימום ב־−1; אין קיצון ב־2

   1. הגורם הריבועי חיובי חוץ מב־2, ולכן הסימן נקבע על ידי x+1. לפני −1 שלילי ואחריו חיובי.

   2. ב־−1 יש מעבר מירידה לעלייה ולכן מינימום. ב־2 הנגזרת אפס ללא החלפת סימן; f ממשיכה לעלות. אי אפשר לחשב ערכי y מנתוני סימן בלבד.

8. A(x)=x(10−x); 0<x<10; מקסימום 25 סמ״ר ב־x=5

   1. מההיקף: 2x+2y=20 ולכן y=10−x. צלעות חיוביות מחייבות 0<x<10, והשטח A=x(10−x).

   2. גוזרים A′=10−2x ומתאפס ב־5. הנגזרת חיובית לפני 5 ושלילית אחריו ולכן זה מקסימום; A(5)=25 סמ״ר.