דף תרגול

חשבון דיפרנציאלי | תרגול 3 | העמקה | סימנים וניתוח טעויות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי | תשפ״ז

תרגול 3 | העמקה | סימנים וניתוח טעויות בחשבון דיפרנציאלי לכיתה י׳, 5 יחידות: משמעות הנגזרת, פולינומים, מכפלה והרכבה, משיק, חקירה וקיצון, עם פתרונות מלאים.

מטרות הלמידה

להבחין בין שינוי ממוצע לנגזרת בנקודה
לגזור פולינום, מכפלה והרכבה
למצוא משיק מנקודה ושיפוע
לחקור תחומי שינוי וקיצון בעזרת סימני הנגזרת
לבנות ולפתור קיצון פולינומי בגאומטריה במישור עם תחום ויחידות

לפני שמתחילים

עבדו על דף וכתבו את הגזירה ואת הנימוק. בשאלה מספרית הקלידו מספר בלבד. במשוואה או בתשובה רב־סעיפית השוו כל חלק לפתרון המלא: הבדיקה האוטומטית משווה טקסט בדיוק ואינה מאמתת שקילות אלגברית או הוכחה. הרמות הן רמות הוראה, לא ציוני בגרות. לפולינום התחום כל הממשיים אלא אם מצוין אחרת; בקיצון גאומטרי התחום נקבע לפי המידות.

גרף לשאלת f ו־f′

חלון גרפי של הפונקציה והנגזרת: קו רציף הוא f, קו מקווקו הוא f′. שתי הפונקציות מוגדרות בכל הממשיים.━ f(x)=x³−3x | - - f′(x)=3x²−3

תרגול

ל־f(x)=(x−1)³ תלמיד טוען: ״ב־x=1 יש מינימום כי הנגזרת אפס״. תקנו ונמקו.
תלמיד גזר f(x)=x²(x+1) וקיבל 2x. מצאו את הנגזרת הנכונה והסבירו את הטעות.
תלמיד כתב עבור f(x)=(x²+1)² את f′(x)=2(x²+1). תקנו.
ל־f(x)=x²−4x+7 משיק אופקי. מצאו את משוואתו.
הגרף המצורף מציג f(x)=x³−3x ו־f′(x)=3x²−3. ב־x=0 האם f עולה או יורדת, והאם היא מעל ציר x?
ל־f(x)=x³−3x יש מקסימום מקומי ב־x=−1. האם הוא מקסימום מוחלט על כל הממשיים?
נתונה f′(x)=(x−2)²(x+1). מצאו את תחומי העלייה והירידה של f ואת סוג הנקודות x=−1 ו־x=2.
מלבן בעל היקף 20 ס״מ. נסמן צלע אחת x. בנו פונקציית שטח, קבעו תחום ומצאו שטח מרבי.

תשובות לתרגול

אין קיצון ב־x=1
1. גוזרים: f′(x)=3(x−1)². הנגזרת אפס ב־1 אבל חיובית בכל נקודה אחרת.
2. אין החלפת סימן: הפונקציה עולה משני הצדדים, ולכן משיק אופקי אינו מספיק לקיצון. הערכים f(0)=−1 ו־f(2)=1 מראים את המשך העלייה.
3x²+2x
1. התלמיד כפל את נגזרות הגורמים: 2x·1. בכלל המכפלה צריך סכום שני איברים.
2. הנגזרת היא 2x(x+1)+x²·1=3x²+2x. אפשר לאמת בפתיחת הפונקציה x³+x² וגזירת כל איבר.
4x(x²+1)
1. הנגזרת שנכתבה מתייחסת רק לחזקה החיצונית. הפונקציה הפנימית x²+1 משתנה גם היא.
2. נגזרת הפנימית 2x, ולכן f′=2(x²+1)·2x=4x(x²+1). ב־x=0 הנגזרת אפס, בדיקה שמגלה את החסר.
y=3
1. משווים נגזרת לאפס: f′=2x−4 ולכן x=2. אין זה עדיין ישר המשיק.
2. מחשבים f(2)=4−8+7=3. משיק אופקי דרך (2,3) הוא y=3; x=2 הוא ישר אנכי ואינו המשיק.
יורדת; נמצאת על ציר x
1. מחשבים שני ערכים שונים: f(0)=0 ולכן הגרף על ציר x; f′(0)=−3 ולכן השיפוע שלילי.
2. מכאן f יורדת סביב 0 למרות שערכה אפס. סימן f מתאר גובה; סימן f′ מתאר כיוון שינוי.
לא; הפונקציה אינה חסומה מלמעלה
1. f′=3(x−1)(x+1), והסימן משתנה מחיובי לשלילי ב־−1: זה מקסימום מקומי, f(−1)=2.
2. אבל כאשר x גדל ללא גבול האיבר x³ גובר על −3x, ולכן f גדלה ללא גבול. למשל f(3)=18>2 מפריך מקסימום מוחלט.
יורדת x<−1; עולה x>−1; מינימום ב־−1; אין קיצון ב־2
1. הגורם הריבועי חיובי חוץ מב־2, ולכן הסימן נקבע על ידי x+1. לפני −1 שלילי ואחריו חיובי.
2. ב־−1 יש מעבר מירידה לעלייה ולכן מינימום. ב־2 הנגזרת אפס ללא החלפת סימן; f ממשיכה לעלות. אי אפשר לחשב ערכי y מנתוני סימן בלבד.
A(x)=x(10−x); 0<x<10; מקסימום 25 סמ״ר ב־x=5
1. מההיקף: 2x+2y=20 ולכן y=10−x. צלעות חיוביות מחייבות 0<x<10, והשטח A=x(10−x).
2. גוזרים A′=10−2x ומתאפס ב־5. הנגזרת חיובית לפני 5 ושלילית אחריו ולכן זה מקסימום; A(5)=25 סמ״ר.