חשבון דיפרנציאלי של פולינום | דף עבודה להדפסה | 14 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי של פולינום | תשפ״ז
דף עבודה להדפסה בחשבון דיפרנציאלי של פולינום לכיתה י׳, 4 יחידות: 14 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.
לפני שמתחילים
בכל שאלה כתבו קודם את הנגזרת בשורה נפרדת. אחר כך החליטו מה מחפשים: ערך של הנגזרת (שיפוע), איפוס שלה (נקודה חשודה), או הסימן שלה (עלייה וירידה).
תזכורת
- (xⁿ)′ = n · xⁿ⁻¹, ונגזרת של קבוע היא 0.
- (u · v)′ = u′ · v + u · v′.
- ((g(x))ⁿ)′ = n · (g(x))ⁿ⁻¹ · g′(x).
- f′(a) הוא שיפוע המשיק בנקודה שבה x = a.
שאלות
שאלה 1
מכונית יוצאת לדרך, והמרחק שעברה במטרים אחרי t שניות הוא s(t) = t². מהי המהירות הממוצעת שלה, במטרים לשנייה, בין t = 2 ל־t = 4?
..........................................................
..........................................................
שאלה 2
נתונה הפונקציה f(x) = 5x² − 3x + 7. מהו f′(1)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 3
נתונה הפונקציה f(x) = x² + 1. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה x = 2?
..........................................................
..........................................................
שאלה 4
נתונה הפונקציה f(x) = x² · (x + 1). מהו f′(1)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 5
נתונה הפונקציה f(x) = (2x + 1)³. מהו f′(0)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 6
נתונה הפונקציה f(x) = x² − 3x. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה x = 1?
(א) y = −x − 1
(ב) y = −x − 2
(ג) y = −2x
(ד) y = x − 3
..........................................................
..........................................................
שאלה 7
נתונה הפונקציה f(x) = x³ − 3x. באיזה ערך של x יש לה מקסימום מקומי?
(א) x = 1
(ב) x = 0
(ג) x = 3
(ד) x = −1
..........................................................
..........................................................
שאלה 8
נתון f′(x) = 2x − 6. באיזה תחום הפונקציה f יורדת?
(א) x > 3
(ב) x < −3
(ג) x < 3
(ד) x > 6
..........................................................
..........................................................
שאלה 9
נתונה הפונקציה f(x) = (x² − 1)². מהו f′(2)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 10
נתונה הפונקציה f(x) = x². המשיק לגרף בנקודה שבה x = 3 חותך את ציר x. מהו שיעור ה־x של נקודת החיתוך?
..........................................................
..........................................................
שאלה 11
נתונה הפונקציה f(x) = x³ − 6x² + 9x. מהו ערך הפונקציה בנקודת המקסימום המקומי שלה?
..........................................................
..........................................................
שאלה 12
נתונה הפונקציה f(x) = (x² − 4)². מהו ערך המקסימום המקומי שלה?
..........................................................
..........................................................
שאלה 13
מלבן חסום בין ציר x לגרף y = 12 − x²: שני קודקודים על ציר x, ושני הקודקודים האחרים על הגרף, באופן סימטרי לציר y. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?
..........................................................
..........................................................
שאלה 14
מנקודה P על הישר y = 6 − 2x ברביע הראשון מורידים אנכים לשני הצירים, ונוצר מלבן שקודקוד אחד שלו בראשית. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?
..........................................................
..........................................................
פתרונות מלאים
הצגת פתרון מלא
שאלה 1: 6
-
המהירות הממוצעת היא השינוי במרחק חלקי השינוי בזמן.
-
s(4) = 16 ו־s(2) = 4, ולכן השינוי במרחק 12 מטרים.
-
השינוי בזמן 2 שניות: 12 : 2 = 6.
הצגת פתרון מלא
שאלה 2: 7
-
גוזרים כל איבר: f′(x) = 10x − 3. נגזרת הקבוע 7 היא 0.
-
מציבים x = 1: f′(1) = 10 − 3 = 7.
הצגת פתרון מלא
שאלה 3: 4
-
שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודה.
-
f′(x) = 2x, ולכן f′(2) = 4.
הצגת פתרון מלא
שאלה 4: 5
-
לפי כלל המכפלה: f′(x) = 2x · (x + 1) + x² · 1.
-
מציבים x = 1: 2 · 1 · 2 + 1 = 5.
-
בדיקה בדרך אחרת: f(x) = x³ + x², ולכן f′(x) = 3x² + 2x ו־f′(1) = 5.
הצגת פתרון מלא
שאלה 5: 6
-
לפי כלל השרשרת: f′(x) = 3(2x + 1)² · 2. הגורם 2 הוא הנגזרת של הביטוי הפנימי.
-
מציבים x = 0: 3 · 1 · 2 = 6.
הצגת פתרון מלא
שאלה 6: y = −x − 1
-
נקודת ההשקה: f(1) = 1 − 3 = −2, כלומר (1, −2).
-
השיפוע: f′(x) = 2x − 3, ולכן f′(1) = −1.
-
y + 2 = −1 · (x − 1), ולכן y = −x − 1.
הצגת פתרון מלא
שאלה 7: x = −1
-
f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1), ולכן הנגזרת מתאפסת ב־x = −1 וב־x = 1.
-
משמאל ל־x = −1 הנגזרת חיובית, ובין −1 ל־1 היא שלילית.
-
הפונקציה עולה ואחר כך יורדת, ולכן ב־x = −1 יש מקסימום מקומי.
הצגת פתרון מלא
שאלה 8: x < 3
-
f יורדת היכן שהנגזרת שלילית.
-
2x − 6 < 0, כלומר 2x < 6 ולכן x < 3.
הצגת פתרון מלא
שאלה 9: 24
-
לפי כלל השרשרת: f′(x) = 2(x² − 1) · 2x.
-
מציבים x = 2: 2 · 3 · 4 = 24.
הצגת פתרון מלא
שאלה 10: 1.5
-
נקודת ההשקה (3, 9), והשיפוע f′(3) = 6.
-
משוואת המשיק: y − 9 = 6(x − 3), כלומר y = 6x − 9.
-
על ציר x מתקיים y = 0: 6x = 9, ולכן x = 1.5.
הצגת פתרון מלא
שאלה 11: 4
-
f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3), ולכן נקודות חשודות ב־x = 1 וב־x = 3.
-
משמאל ל־1 הנגזרת חיובית, ובין 1 ל־3 שלילית: ב־x = 1 מקסימום מקומי.
-
f(1) = 1 − 6 + 9 = 4.
הצגת פתרון מלא
שאלה 12: 16
-
לפי כלל השרשרת: f′(x) = 2(x² − 4) · 2x = 4x(x² − 4). הנגזרת מתאפסת ב־x = 0, x = 2 ו־x = −2.
-
בין −2 ל־0 הנגזרת חיובית, ובין 0 ל־2 שלילית: ב־x = 0 מקסימום מקומי.
-
f(0) = (−4)² = 16.
הצגת פתרון מלא
שאלה 13: 32
-
אם הקודקוד הימני העליון (x, 12 − x²), אורך המלבן 2x וגובהו 12 − x². השטח S(x) = 2x(12 − x²) = 24x − 2x³, כאשר 0 < x < √12.
-
S′(x) = 24 − 6x² = 0, ולכן x = 2. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית: מקסימום.
-
S(2) = 4 · 8 = 32.
הצגת פתרון מלא
שאלה 14: 4.5
-
אם P = (x, 6 − 2x), השטח S(x) = x(6 − 2x) = 6x − 2x², כאשר 0 < x < 3.
-
S′(x) = 6 − 4x = 0, ולכן x = 1.5. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית: מקסימום.
-
S(1.5) = 1.5 · 3 = 4.5.