דף תרגול

חשבון דיפרנציאלי של פולינום | דף עבודה להדפסה | 14 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי של פולינום | תשפ״ז

דף עבודה להדפסה בחשבון דיפרנציאלי של פולינום לכיתה י׳, 4 יחידות: 14 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.

מטרות הלמידה

להבין את הנגזרת כקצב שינוי וכשיפוע המשיק, ולגזור פולינום
למצוא משוואת משיק ולחקור פולינום: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
לקרוא מגרף הנגזרת את התנהגות הפונקציה, ולנמק
לגזור מכפלה והרכבה של פולינומים
לפתור בעיות קיצון בהקשר גאומטרי וגרפי

לפני שמתחילים

בכל שאלה כתבו קודם את הנגזרת בשורה נפרדת. אחר כך החליטו מה מחפשים: ערך של הנגזרת (שיפוע), איפוס שלה (נקודה חשודה), או הסימן שלה (עלייה וירידה).

תזכורת

⁦(xⁿ)′ = ⁦n · x⁩ⁿ⁩⁻¹, ונגזרת של קבוע היא 0.
⁦(u · v)′ = u′ · v + u · v′⁩.
((g(x))ⁿ)′ = ⁦n · (g(x))⁩ⁿ⁻¹ · g′(x).
f′(a) הוא שיפוע המשיק בנקודה שבה ⁦x = a⁩.

שאלות

שאלה 1

מכונית יוצאת לדרך, והמרחק שעברה במטרים אחרי t שניות הוא ⁦s(t) = t²⁩. מהי המהירות הממוצעת שלה, במטרים לשנייה, בין ⁦t = 2⁩ ל־⁦t = 4⁩?

..........................................................

שאלה 2

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = 5x² − 3x + 7⁩. מהו f′(1)?

..........................................................

שאלה 3

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x² + 1⁩. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה ⁦x = 2⁩?

..........................................................

שאלה 4

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x² · (x + 1)⁩. מהו f′(1)?

..........................................................

שאלה 5

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = (2x + 1)³⁩. מהו f′(0)?

..........................................................

שאלה 6

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x² − 3x⁩. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה ⁦x = 1⁩?

(א) ⁦y = −x − 1⁩

(ב) ⁦y = −x − 2⁩

(ג) ⁦y = −2x⁩

(ד) ⁦y = x − 3⁩

..........................................................

שאלה 7

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x³ − 3x⁩. באיזה ערך של x יש לה מקסימום מקומי?

(א) ⁦x = 1⁩

(ב) ⁦x = 0⁩

(ג) ⁦x = 3⁩

(ד) ⁦x = −1⁩

..........................................................

שאלה 8

נתון ⁦f′(x) = 2x − 6⁩. באיזה תחום הפונקציה f יורדת?

(א) ⁦x > 3⁩

(ב) ⁦x < −3⁩

(ג) ⁦x < 3⁩

(ד) ⁦x > 6⁩

..........................................................

שאלה 9

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = (x² − 1)²⁩. מהו f′(2)?

..........................................................

שאלה 10

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x²⁩. המשיק לגרף בנקודה שבה ⁦x = 3⁩ חותך את ציר x. מהו שיעור ה־x של נקודת החיתוך?

..........................................................

שאלה 11

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x³ − 6x² + 9x⁩. מהו ערך הפונקציה בנקודת המקסימום המקומי שלה?

..........................................................

שאלה 12

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = (x² − 4)²⁩. מהו ערך המקסימום המקומי שלה?

..........................................................

שאלה 13

מלבן חסום בין ציר x לגרף ⁦y = 12 − x²⁩: שני קודקודים על ציר x, ושני הקודקודים האחרים על הגרף, באופן סימטרי לציר y. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

..........................................................

שאלה 14

מנקודה P על הישר ⁦y = 6 − 2x⁩ ברביע הראשון מורידים אנכים לשני הצירים, ונוצר מלבן שקודקוד אחד שלו בראשית. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

..........................................................

פתרונות

הצגת פתרון מלא

שאלה 1: 6

המהירות הממוצעת היא השינוי במרחק חלקי השינוי בזמן.
⁦s(4) = 16⁩ ו־⁦s(2) = 4⁩, ולכן השינוי במרחק 12 מטרים.
השינוי בזמן 2 שניות: ⁦12 : ⁦2 = 6⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 2: 7

גוזרים כל איבר: ⁦f′(x) = 10x − 3⁩. נגזרת הקבוע 7 היא 0.
מציבים ⁦x = 1⁩: ⁦f′(1) = 10 − 3 = 7⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 3: 4

שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודה.
⁦f′(x) = 2x⁩, ולכן ⁦f′(2) = 4⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 4: 5

לפי כלל המכפלה: ⁦f′(x) = 2x · (x + 1) + x² · 1⁩.
מציבים ⁦x = 1⁩: ⁦2 · 1 · 2 + 1 = 5⁩.
בדיקה בדרך אחרת: ⁦f(x) = x³ + x²⁩, ולכן ⁦f′(x) = 3x² + 2x⁩ ו־⁦f′(1) = 5⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 5: 6

לפי כלל השרשרת: ⁦f′(x) = 3(2x + 1)² · 2⁩. הגורם 2 הוא הנגזרת של הביטוי הפנימי.
מציבים ⁦x = 0⁩: ⁦3 · 1 · 2 = 6⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 6: ⁦y = −x − 1⁩

נקודת ההשקה: ⁦f(1) = 1 − 3 = −2⁩, כלומר ⁦(1, −2)⁩.
השיפוע: ⁦f′(x) = 2x − 3⁩, ולכן ⁦f′(1) = −1⁩.
⁦y + 2 = −1 · (x − 1)⁩, ולכן ⁦y = −x − 1⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 7: ⁦x = −1⁩

⁦f′(x) = 3x² − 3 = 3(x − 1)(x + 1)⁩, ולכן הנגזרת מתאפסת ב־⁦x = −1⁩ וב־⁦x = 1⁩.
משמאל ל־⁦x = −1⁩ הנגזרת חיובית, ובין ⁦−1⁩ ל־1 היא שלילית.
הפונקציה עולה ואחר כך יורדת, ולכן ב־⁦x = −1⁩ יש מקסימום מקומי.

הצגת פתרון מלא

שאלה 8: ⁦x < 3⁩

f יורדת היכן שהנגזרת שלילית.
⁦2x − 6 < 0⁩, כלומר ⁦2x < 6⁩ ולכן ⁦x < 3⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 9: 24

לפי כלל השרשרת: ⁦f′(x) = 2(x² − 1) · 2x⁩.
מציבים ⁦x = 2⁩: ⁦2 · 3 · 4 = 24⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 10: 1.5

נקודת ההשקה ⁦(3, 9)⁩, והשיפוע ⁦f′(3) = 6⁩.
משוואת המשיק: ⁦y − 9 = 6(x − 3)⁩, כלומר ⁦y = 6x − 9⁩.
על ציר x מתקיים ⁦y = 0⁩: ⁦6x = 9⁩, ולכן ⁦x = 1.5⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 11: 4

⁦f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)⁩, ולכן נקודות חשודות ב־⁦x = 1⁩ וב־⁦x = 3⁩.
משמאל ל־1 הנגזרת חיובית, ובין 1 ל־3 שלילית: ב־⁦x = 1⁩ מקסימום מקומי.
⁦f(1) = 1 − 6 + 9 = 4⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 12: 16

לפי כלל השרשרת: ⁦f′(x) = 2(x² − 4) · 2x = 4x(x² − 4)⁩. הנגזרת מתאפסת ב־⁦x = 0, x = 2⁩ ו־⁦x = −2⁩.
בין ⁦−2⁩ ל־0 הנגזרת חיובית, ובין 0 ל־2 שלילית: ב־⁦x = 0⁩ מקסימום מקומי.
⁦f(0) = (−4)² = 16⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 13: 32

אם הקודקוד הימני העליון ⁦(x, 12 − x²)⁩, אורך המלבן 2x וגובהו ⁦12 − x²⁩. השטח ⁦S(x) = 2x(12 − x²) = 24x − 2x³⁩, כאשר ⁦0 < x < √12⁩.
⁦S′(x) = 24 − 6x² = 0⁩, ולכן ⁦x = 2⁩. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית: מקסימום.
⁦S(2) = 4 · 8 = 32⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 14: 4.5

אם ⁦P = (x, 6 − 2x)⁩, השטח ⁦S(x) = x(6 − 2x) = 6x − 2x²⁩, כאשר ⁦0 < x < 3⁩.
⁦S′(x) = 6 − 4x = 0⁩, ולכן ⁦x = 1.5⁩. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית: מקסימום.
⁦S(1.5) = 1.5 · 3 = 4.5⁩.