חשבון דיפרנציאלי של פולינום | תרגול רמה 3 | אתגר | כיתה י׳, 4 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי של פולינום | תשפ״ז
תרגול אתגר בחשבון דיפרנציאלי של פולינום לכיתה י׳, 4 יחידות: 8 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.
נענו 0 מתוך 8 שאלות
לפני שמתחילים
דוגמה פתורה לפני שמתחילים
חקרו את f(x) = 2x³ − 6x: מצאו תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון.
f′(x) = 6x² − 6 = 6(x − 1)(x + 1). נקודות חשודות: x = −1 ו־x = 1.
טבלת סימנים: משמאל ל־−1 חיובית, בין −1 ל־1 שלילית, מימין ל־1 חיובית.
f עולה ב־x < −1 וב־x > 1, ויורדת ב־−1 < x < 1.
מקסימום (−1, 4) ומינימום (1, −4).
תשובה: מקסימום (−1, 4), מינימום (1, −4)
נתונה הפונקציה f(x) = x³ − 2x. באילו נקודות המשיק לגרף מקביל לישר y = x + 5?
רמז
ישרים מקבילים הם ישרים עם אותו שיפוע.
נתונה הפונקציה f(x) = x². המשיק לגרף בנקודה שבה x = 3 חותך את ציר x. מהו שיעור ה־x של נקודת החיתוך?
רמז
נקודת ההשקה (3, 9), והשיפוע f′(3) = 6.
נתונה הפונקציה f(x) = x³ − 6x² + 9x. מהו ערך הפונקציה בנקודת המקסימום המקומי שלה?
רמז
f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3).
נתון f′(x) = (x − 1)². מה נכון לגבי הפונקציה f?
רמז
הנגזרת היא ריבוע.
נתונה הפונקציה f(x) = (x² − 4)². מהו ערך המקסימום המקומי שלה?
רמז
לפי כלל השרשרת: f′(x) = 2(x² − 4) · 2x = 4x(x² − 4). הנגזרת מתאפסת ב־x = 0, x = 2 ו־x = −2.
היקף מלבן הוא 20 ס״מ. מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המלבן, בסמ״ר?
רמז
אם צלע אחת x, הצלע השנייה 10 − x, והשטח S(x) = x(10 − x) = 10x − x², כאשר 0 < x < 10.
מלבן חסום בין ציר x לגרף y = 12 − x²: שני קודקודים על ציר x, ושני הקודקודים האחרים על הגרף, באופן סימטרי לציר y. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?
רמז
אם הקודקוד הימני העליון (x, 12 − x²), אורך המלבן 2x וגובהו 12 − x². השטח S(x) = 2x(12 − x²) = 24x − 2x³, כאשר 0 < x < √12.
מנקודה P על הישר y = 6 − 2x ברביע הראשון מורידים אנכים לשני הצירים, ונוצר מלבן שקודקוד אחד שלו בראשית. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?
רמז
אם P = (x, 6 − 2x), השטח S(x) = x(6 − 2x) = 6x − 2x², כאשר 0 < x < 3.