דף תרגול

חשבון דיפרנציאלי של פולינום | תרגול רמה 3 | אתגר | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי של פולינום | תשפ״ז

תרגול אתגר בחשבון דיפרנציאלי של פולינום לכיתה י׳, 4 יחידות: 8 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

להבין את הנגזרת כקצב שינוי וכשיפוע המשיק, ולגזור פולינום
למצוא משוואת משיק ולחקור פולינום: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
לקרוא מגרף הנגזרת את התנהגות הפונקציה, ולנמק
לגזור מכפלה והרכבה של פולינומים
לפתור בעיות קיצון בהקשר גאומטרי וגרפי

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

חקרו את ⁦f(x) = 2x³ − 6x⁩: מצאו תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון.

⁦f′(x) = 6x² − 6 = 6(x − 1)(x + 1)⁩. נקודות חשודות: ⁦x = −1⁩ ו־⁦x = 1⁩.
טבלת סימנים: משמאל ל־⁦−1⁩ חיובית, בין ⁦−1⁩ ל־1 שלילית, מימין ל־1 חיובית.
f עולה ב־⁦x < −1⁩ וב־⁦x > 1⁩, ויורדת ב־⁦−1 < x < 1⁩.
מקסימום ⁦(−1, 4)⁩ ומינימום ⁦(1, −4)⁩.

תשובה: מקסימום ⁦(−1, 4)⁩, מינימום ⁦(1, −4)⁩

תרגול

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x³ − 2x⁩. באילו נקודות המשיק לגרף מקביל לישר ⁦y = x + 5⁩?
1. רק בנקודה שבה ⁦x = 1⁩
2. בנקודה שבה ⁦x = 0⁩
3. בנקודות שבהן ⁦x = 1⁩ ו־⁦x = −1⁩
4. בנקודות שבהן ⁦x = 5⁩ ו־⁦x = −5⁩
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x²⁩. המשיק לגרף בנקודה שבה ⁦x = 3⁩ חותך את ציר x. מהו שיעור ה־x של נקודת החיתוך?
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x³ − 6x² + 9x⁩. מהו ערך הפונקציה בנקודת המקסימום המקומי שלה?
נתון ⁦f′(x) = (x − 1)²⁩. מה נכון לגבי הפונקציה f?
1. f עולה בכל התחום ואין לה נקודת קיצון
2. יש ל־f מינימום ב־⁦x = 1⁩
3. יש ל־f מקסימום ב־⁦x = 1⁩
4. f יורדת עד ⁦x = 1⁩ ועולה אחריו
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = (x² − 4)²⁩. מהו ערך המקסימום המקומי שלה?
היקף מלבן הוא 20 ס״מ. מהו השטח הגדול ביותר האפשרי של המלבן, בסמ״ר?
מלבן חסום בין ציר x לגרף ⁦y = 12 − x²⁩: שני קודקודים על ציר x, ושני הקודקודים האחרים על הגרף, באופן סימטרי לציר y. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?
מנקודה P על הישר ⁦y = 6 − 2x⁩ ברביע הראשון מורידים אנכים לשני הצירים, ונוצר מלבן שקודקוד אחד שלו בראשית. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

תשובות לתרגול

בנקודות שבהן ⁦x = 1⁩ ו־⁦x = −1⁩
1. ישרים מקבילים הם ישרים עם אותו שיפוע, ולכן מחפשים ⁦f′(x) = 1⁩.
2. ⁦f′(x) = 3x² − 2 = 1⁩, כלומר ⁦x² = 1⁩.
3. ⁦x = 1⁩ או ⁦x = −1⁩. בשתי הנקודות המשיק מקביל לישר הנתון.
1.5
1. נקודת ההשקה ⁦(3, 9)⁩, והשיפוע ⁦f′(3) = 6⁩.
2. משוואת המשיק: ⁦y − 9 = 6(x − 3)⁩, כלומר ⁦y = 6x − 9⁩.
3. על ציר x מתקיים ⁦y = 0⁩: ⁦6x = 9⁩, ולכן ⁦x = 1.5⁩.
4
1. ⁦f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)⁩, ולכן נקודות חשודות ב־⁦x = 1⁩ וב־⁦x = 3⁩.
2. משמאל ל־1 הנגזרת חיובית, ובין 1 ל־3 שלילית: ב־⁦x = 1⁩ מקסימום מקומי.
3. ⁦f(1) = 1 − 6 + 9 = 4⁩.
f עולה בכל התחום ואין לה נקודת קיצון
1. הנגזרת היא ריבוע, ולכן היא אי־שלילית לכל x ומתאפסת רק ב־⁦x = 1⁩.
2. משני צדי ⁦x = 1⁩ הנגזרת חיובית: אין שינוי סימן.
3. לכן f עולה בכל התחום, ו־⁦x = 1⁩ אינה נקודת קיצון.
16
1. לפי כלל השרשרת: ⁦f′(x) = 2(x² − 4) · 2x = 4x(x² − 4)⁩. הנגזרת מתאפסת ב־⁦x = 0, x = 2⁩ ו־⁦x = −2⁩.
2. בין ⁦−2⁩ ל־0 הנגזרת חיובית, ובין 0 ל־2 שלילית: ב־⁦x = 0⁩ מקסימום מקומי.
3. ⁦f(0) = (−4)² = 16⁩.
25
1. אם צלע אחת x, הצלע השנייה ⁦10 − x⁩, והשטח ⁦S(x) = x(10 − x) = 10x − x²⁩, כאשר ⁦0 < x < 10⁩.
2. ⁦S′(x) = 10 − 2x = 0⁩, ולכן ⁦x = 5⁩. משמאל ל־5 הנגזרת חיובית ומימין שלילית: מקסימום.
3. ⁦S(5) = 5 · 5 = 25⁩.
32
1. אם הקודקוד הימני העליון ⁦(x, 12 − x²)⁩, אורך המלבן 2x וגובהו ⁦12 − x²⁩. השטח ⁦S(x) = 2x(12 − x²) = 24x − 2x³⁩, כאשר ⁦0 < x < √12⁩.
2. ⁦S′(x) = 24 − 6x² = 0⁩, ולכן ⁦x = 2⁩. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית: מקסימום.
3. ⁦S(2) = 4 · 8 = 32⁩.
4.5
1. אם ⁦P = (x, 6 − 2x)⁩, השטח ⁦S(x) = x(6 − 2x) = 6x − 2x²⁩, כאשר ⁦0 < x < 3⁩.
2. ⁦S′(x) = 6 − 4x = 0⁩, ולכן ⁦x = 1.5⁩. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית: מקסימום.
3. ⁦S(1.5) = 1.5 · 3 = 4.5⁩.