לוגו נדב כץנדב כץ

בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | דף עבודה להדפסה | 10 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

דף עבודה להדפסה בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 4 יחידות: 10 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.

מקצוע
מתמטיקה
כיתה
כיתה י
סוג
דף תרגול
פורמטים
אינטראקטיבי | הדפסה
פתח חומר
דף תרגול

בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | דף עבודה להדפסה | 10 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז

הלוגו של נדב כץ

דף עבודה להדפסה בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 4 יחידות: 10 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.

לפני שמתחילים

לפני שגוזרים: מי המשתנה, מה התחום החוקי, ומה בדיוק מבקשים למקסם או למזער? בסוף מציבים בחזרה ועונים במבוקש, עם יחידות.

תזכורת

  • משתנה + יחידות, ואז תחום חוקי מההקשר.
  • פונקציית מטרה אחת, נגזרת, נקודות קריטיות בתחום.
  • תחום סגור: משווים גם קצוות.
  • מסווגים, מציבים בחזרה ועונים במבוקש עם יחידות.

שאלות

שאלה 1

סכום של שני מספרים הוא 20. מהו הערך הגדול ביותר האפשרי של מכפלתם?

..........................................................

..........................................................

שאלה 2

ההפרש בין שני מספרים הוא 8 (הראשון גדול מהשני). מהו הערך הקטן ביותר של מכפלתם?

..........................................................

..........................................................

שאלה 3

מספר x מקיים ⁦0 ≤ x ≤ 12⁩. מהו הערך הגדול ביותר של הביטוי ⁦x(12 − x) + 4x⁩?

..........................................................

..........................................................

שאלה 4

חנות מוכרת מוצר במחיר ⁦p = 40 − 2x⁩ שקלים ליחידה, כאשר x מספר היחידות. ההכנסה היא ⁦x · p⁩. מהי ההכנסה הגדולה ביותר (בשקלים)?

..........................................................

..........................................................

שאלה 5

ההכנסה ממכירת x יחידות היא ⁦60x − 3x²⁩ שקלים, והעלות היא 12x שקלים. הרווח הוא הכנסה פחות עלות. מהו הרווח הגדול ביותר (בשקלים)?

..........................................................

..........................................................

שאלה 6

עלות הייצור של x יחידות היא ⁦C(x) = x² − 10x + 45⁩ שקלים. מהי העלות הקטנה ביותר (בשקלים)?

..........................................................

..........................................................

שאלה 7

מיריעה ריבועית שצלעה 12 ס״מ חותכים בכל פינה ריבוע שצלעו x ומקפלים קופסה פתוחה. הנפח הוא ⁦V(x) = x(12 − 2x)²⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

..........................................................

..........................................................

שאלה 8

מיריעה ריבועית שצלעה 18 ס״מ חותכים בכל פינה ריבוע שצלעו x ומקפלים קופסה פתוחה. הנפח הוא ⁦V(x) = x(18 − 2x)²⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

..........................................................

..........................................................

שאלה 9

לקופסה פתוחה מלמעלה בסיס ריבועי שצלעו x וגובה h. שטח הפנים (בסיס וארבע פאות) הוא 48 סמ״ר: ⁦x² + 4xh = 48⁩. הנפח הוא ⁦V(x) = 12x − x34\frac{x^3}{4}⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

..........................................................

..........................................................

שאלה 10

סכום כל 12 המקצועות של תיבה שבסיסה ריבוע שצלעו x הוא 48 ס״מ: ⁦8x + 4h = 48⁩. הנפח הוא ⁦V(x) = 12x² − 2x³⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?

..........................................................

..........................................................

פתרונות מלאים

הצגת פתרון מלא

שאלה 1: 100

  1. נסמן מספר אחד ב־x; השני הוא ⁦20 − x⁩.

  2. המכפלה: ⁦P(x) = x(20 − x) = 20x − x²⁩.

  3. ⁦P′(x) = 20 − 2x = 0⁩ נותן ⁦x = 10⁩, והפרבולה הפוכה ולכן זה מקסימום.

  4. ⁦P(10) = 10 · 10 = 100⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 2: -16

  1. נסמן את הגדול ב־x; הקטן הוא ⁦x − 8⁩.

  2. המכפלה: ⁦P(x) = x(x − 8) = x² − 8x⁩.

  3. ⁦P′(x) = 2x − 8 = 0⁩ נותן ⁦x = 4⁩, והפרבולה מחייכת ולכן זה מינימום.

  4. ⁦P(4) = 16 − 32 = −16⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 3: 64

  1. פישוט: ⁦f(x) = 12x − x² + 4x = 16x − x²⁩.

  2. ⁦f′(x) = 16 − 2x = 0⁩ נותן ⁦x = 8⁩, בתוך התחום.

  3. ⁦f(8) = 128 − 64 = 64⁩, ובקצוות ⁦f(0) = 0⁩ ו־⁦f(12) = 48⁩, לכן 64 הוא המקסימום.

הצגת פתרון מלא

שאלה 4: 200

  1. ההכנסה: ⁦R(x) = x(40 − 2x) = 40x − 2x²⁩.

  2. ⁦R′(x) = 40 − 4x = 0⁩ נותן ⁦x = 10⁩ יחידות.

  3. ⁦R(10) = 400 − 200 = 200⁩ שקלים.

הצגת פתרון מלא

שאלה 5: 192

  1. הרווח: ⁦P(x) = (60x − 3x²) − 12x = 48x − 3x²⁩.

  2. ⁦P′(x) = 48 − 6x = 0⁩ נותן ⁦x = 8⁩.

  3. ⁦P(8) = 384 − 192 = 192⁩ שקלים.

הצגת פתרון מלא

שאלה 6: 20

  1. ⁦C′(x) = 2x − 10 = 0⁩ נותן ⁦x = 5⁩.

  2. הפרבולה מחייכת, ולכן זה מינימום.

  3. ⁦C(5) = 25 − 50 + 45 = 20⁩ שקלים.

הצגת פתרון מלא

שאלה 7: 128

  1. התחום: ⁦0 < x < 6⁩, כי הבסיס ⁦12 − 2x⁩ חייב להיות חיובי.

  2. ⁦V(x) = 4x³ − 48x² + 144x⁩, ולכן ⁦V′(x) = 12x² − 96x + 144 = 12(x − 2)(x − 6)⁩.

  3. בתוך התחום רק ⁦x = 2⁩; ב־⁦x = 6⁩ הנפח 0.

  4. ⁦V(2) = 2 · 8² = 128⁩ סמ״ק.

הצגת פתרון מלא

שאלה 8: 432

  1. התחום: ⁦0 < x < 9⁩.

  2. ⁦V′(x) = 12(x − 3)(x − 9)⁩; בתוך התחום רק ⁦x = 3⁩.

  3. ⁦V(3) = 3 · 12² = 432⁩ סמ״ק.

הצגת פתרון מלא

שאלה 9: 32

  1. מהאילוץ: ⁦h = 48−x24x\frac{48 - x²}{4x}⁩, והצבה ב־⁦V = x²h⁩ נותנת ⁦V(x) = 12x − x34\frac{x^3}{4}⁩.

  2. ⁦V′(x) = 12 − 3x²/4 = 0⁩ נותן ⁦x² = 16⁩, כלומר ⁦x = 4⁩.

  3. ⁦h = 48−1616\frac{48 - 16}{16} = 2⁩, חיובי ותקין.

  4. ⁦V(4) = 16 · 2 = 32⁩ סמ״ק.

הצגת פתרון מלא

שאלה 10: 64

  1. מהאילוץ: ⁦h = 12 − 2x⁩, והתחום ⁦0 < x < 6⁩.

  2. ⁦V′(x) = 24x − 6x² = 6x(4 − x) = 0⁩ נותן ⁦x = 4⁩ בתוך התחום.

  3. ⁦h = 12 − 8 = 4⁩, חיובי.

  4. ⁦V(4) = 16 · 4 = 64⁩ סמ״ק.

מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז

נבנה על ידי נדב כץ, כל הזכויות שמורות

השלב הבא
דף סיכום
להמשיך
לפעילויות התרגול ולעזרה בנושא הזהמדריך קצר להורים ולמורים: איך לתרגל יחד
חינם, ללא הרשמהמעבר לגרסת הדפסה

אין קובץ שמור לחומר הזה. שמירה כ-PDF מתבצעת דרך גרסת ההדפסה, בחלון ההדפסה של הדפדפן.

המורה החכם | מתמטיקה

המורה עונה רק מתוך חומרים ומאמרים שנבדקו. אין כאן תחזית ציון. אל תכתבו פרטים אישיים בשאלה.

חומרים קשורים

לפי אותו מקצוע, כיתה ונושא שנרשמו לחומר הזה.