חוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות | דף עבודה להדפסה | 12 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

דף עבודה להדפסה בחוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות לכיתה י׳, 4 יחידות: 12 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.

מקצוע: מתמטיקה
כיתה: כיתה י
סוג: דף תרגול
פורמטים: אינטראקטיבי | הדפסה

פתח חומר

דף תרגול

חוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות | דף עבודה להדפסה | 12 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | חוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות | תשפ״ז

לפני שמתחילים

סמנו את הקודקוד שממנו יוצא חוצה הזווית. ביחס משתתפות שתי הצלעות שיוצאות ממנו, והן מתאימות לשני הקטעים שעל הצלע שמולו.

תזכורת

AD חוצה את זווית A ו־D על BC: ⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : AC⁩.
ביחס: שתי הצלעות שיוצאות מהקודקוד.
הקטע שליד B מתאים ל־AB, הקטע שליד C מתאים ל־AC.
D על BC ו־⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : AC⁩: אז AD חוצה את זווית A.

שאלות

שאלה 1

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, והנקודה D על הצלע BC. נתון ⁦AB = 6, AC = 9⁩ ו־⁦BD = 4⁩. מה אורך DC?

..........................................................

שאלה 2

במשולש ABC נתון ⁦AB = 8, AC = 12⁩ ו־⁦BC = 15⁩. חוצה זווית A חותך את BC בנקודה D. מה אורך BD?

..........................................................

שאלה 3

במשולש ABC נתון ⁦AB = AC⁩. הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦BC = 14⁩. מה אורך BD?

..........................................................

שאלה 4

במשולש ABC הנקודה D על BC. נתון ⁦BD = 3, DC = 5, AB = 6⁩ ו־⁦AC = 10⁩. מה אפשר להסיק?

(א) AD חוצה את זווית A

(ב) AD מאונך ל־BC

(ג) D אמצע BC

(ד) אי אפשר להסיק דבר על AD

..........................................................

שאלה 5

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦BD = 6, DC = 9⁩ ו־⁦AC = 12⁩. מה אורך AB?

..........................................................

שאלה 6

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦AB = 10, AC = 15⁩ ו־⁦BD = 4⁩. מה היקף המשולש ABC?

..........................................................

שאלה 7

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦AB = x, AC = x + 4, BD = 6⁩ ו־⁦DC = 9⁩. מה ערכו של x?

..........................................................

שאלה 8

היקף משולש ABC הוא ⁦30, AB = 8⁩ ו־⁦AC = 12⁩. חוצה זווית A חותך את BC בנקודה D. מה אורך BD?

..........................................................

שאלה 9

במשולש ABC הקטע BE חוצה את זווית B, ו־E על AC. נתון ⁦AB = 6, BC = 9⁩ ו־⁦AC = 10⁩. מה אורך AE?

..........................................................

שאלה 10

במשולש ABC חוצי הזוויות של A ושל B נפגשים בנקודה I. נתון ⁦∠A = 50°⁩ ו־⁦∠B = 70°⁩. מה גודל ⁦∠ACI⁩ במעלות?

..........................................................

שאלה 11

במשולש ABC נתון ⁦AB = 12, AC = 18⁩ ו־⁦BC = 20⁩. הנקודה D על BC ו־⁦BD = 8⁩. נתון ⁦∠BAC = 70°⁩. מה גודל ⁦∠BAD⁩ במעלות?

..........................................................

שאלה 12

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦AB = 10, AC = 15, BD = x⁩ ו־⁦DC = x + 3⁩. מה ערכו של x?

..........................................................

פתרונות מלאים

הצגת פתרון מלא

שאלה 1: 6

לפי משפט חוצה הזווית: ⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : AC⁩.
⁦⁦4 : ⁦DC = 6⁩ : 9⁩⁩, ולכן ⁦⁦DC = 4 · 9⁩ : ⁦6 = 6⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 2: 6

⁦BD : ⁦⁦DC = AB⁩ : ⁦AC = 8⁩ : ⁦12 = 2⁩ : 3⁩⁩.
הצלע BC מתחלקת ל־5 חלקים שווים, כל חלק ⁦15 : ⁦5 = 3⁩⁩.
⁦BD = 2 · 3 = 6⁩, ובדיקה: ⁦DC = 9⁩ ו־⁦6 + 9 = 15⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 3: 7

לפי משפט חוצה הזווית: ⁦BD : ⁦⁦DC = AB⁩ : ⁦AC = 1⁩ : 1⁩⁩.
לכן ⁦⁦BD = DC = 14⁩ : ⁦2 = 7⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 4: AD חוצה את זווית A

בודקים את היחסים: ⁦BD : ⁦⁦DC = 3⁩ : 5⁩⁩, ו־⁦AB : ⁦⁦AC = 6⁩ : ⁦10 = 3⁩ : 5⁩⁩.
היחסים שווים ו־D על BC, ולכן לפי המשפט ההפוך AD חוצה את זווית A.

הצגת פתרון מלא

שאלה 5: 8

⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : AC⁩.
⁦⁦6 : ⁦9 = AB⁩ : 12⁩⁩, ולכן ⁦⁦AB = 6 · 12⁩ : ⁦9 = 8⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 6: 35

⁦BD : ⁦⁦DC = 10⁩ : ⁦15 = 2⁩ : 3⁩⁩, ולכן ⁦⁦DC = 4 · 3⁩ : ⁦2 = 6⁩⁩.
⁦BC = 4 + 6 = 10⁩.
היקף = ⁦10 + 15 + 10 = 35⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 7: 8

לפי המשפט: ⁦x : ⁦(x + 4) = 6⁩ : 9⁩.
⁦9x = 6x + 24⁩, ולכן ⁦3x = 24⁩ ו־⁦x = 8⁩.
בדיקה: הצלעות 8, 12 ו־15 יוצרות משולש, ו־⁦⁦8 : ⁦12 = 6⁩ : 9⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 8: 4

⁦BC = 30 − 8 − 12 = 10⁩.
⁦BD : ⁦⁦DC = 8⁩ : ⁦12 = 2⁩ : 3⁩⁩, כל חלק ⁦10 : ⁦5 = 2⁩⁩.
⁦BD = 2 · 2 = 4⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 9: 4

כאן הקודקוד הוא B, ולכן ⁦AE : ⁦⁦EC = BA⁩ : ⁦BC = 6⁩ : ⁦9 = 2⁩ : 3⁩⁩.
AC מתחלקת ל־5 חלקים, כל חלק 2, ולכן ⁦AE = 4⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 10: 30

לפי משפט נקודת מפגש חוצי הזוויות, גם חוצה זווית C עובר דרך I, ולכן CI חוצה את זווית C.
⁦∠C = 180° − 50° − 70° = 60°⁩, ולכן ⁦∠ACI = 30°⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 11: 35

⁦DC = 20 − 8 = 12⁩, ולכן ⁦BD : ⁦⁦DC = 8⁩ : ⁦12 = 2⁩ : 3⁩⁩. גם ⁦AB : ⁦⁦AC = 12⁩ : ⁦18 = 2⁩ : 3⁩⁩.
D על BC והיחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך AD חוצה את זווית A.
⁦⁦∠BAD = 70°⁩ : ⁦2 = 35°⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 12: 6

⁦x : ⁦(x + 3)⁩⁩ = ⁦⁦10 : ⁦15 = 2⁩ : 3⁩⁩.
⁦3x = 2x + 6⁩, ולכן ⁦x = 6⁩.
בדיקה: ⁦BC = 6 + 9 = 15⁩, והצלעות 10, 15 ו־15 יוצרות משולש.

דף תרגול