דף תרגול

חוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות | דף עבודה להדפסה | 12 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | חוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות | תשפ״ז

דף עבודה להדפסה בחוצה זווית במשולש ונקודת מפגש חוצי הזוויות לכיתה י׳, 4 יחידות: 12 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.

מטרות הלמידה

להשתמש במשפט חוצה הזווית כדי לחשב קטעים וצלעות
להוכיח בעזרת המשפט ההפוך שקטע חוצה זווית
להשתמש במשפט נקודת מפגש חוצי הזוויות לנימוק ולחישוב זוויות

לפני שמתחילים

סמנו את הקודקוד שממנו יוצא חוצה הזווית. ביחס משתתפות שתי הצלעות שיוצאות ממנו, והן מתאימות לשני הקטעים שעל הצלע שמולו.

תזכורת

AD חוצה את זווית A ו־D על BC: ⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : AC⁩.
ביחס: שתי הצלעות שיוצאות מהקודקוד.
הקטע שליד B מתאים ל־AB, הקטע שליד C מתאים ל־AC.
D על BC ו־⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : AC⁩: אז AD חוצה את זווית A.

שאלות

שאלה 1

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, והנקודה D על הצלע BC. נתון ⁦AB = 6, AC = 9⁩ ו־⁦BD = 4⁩. מה אורך DC?

..........................................................

שאלה 2

במשולש ABC נתון ⁦AB = 8, AC = 12⁩ ו־⁦BC = 15⁩. חוצה זווית A חותך את BC בנקודה D. מה אורך BD?

..........................................................

שאלה 3

במשולש ABC נתון ⁦AB = AC⁩. הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦BC = 14⁩. מה אורך BD?

..........................................................

שאלה 4

במשולש ABC הנקודה D על BC. נתון ⁦BD = 3, DC = 5, AB = 6⁩ ו־⁦AC = 10⁩. מה אפשר להסיק?

(א) AD חוצה את זווית A

(ב) AD מאונך ל־BC

(ג) D אמצע BC

(ד) אי אפשר להסיק דבר על AD

..........................................................

שאלה 5

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦BD = 6, DC = 9⁩ ו־⁦AC = 12⁩. מה אורך AB?

..........................................................

שאלה 6

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦AB = 10, AC = 15⁩ ו־⁦BD = 4⁩. מה היקף המשולש ABC?

..........................................................

שאלה 7

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦AB = x, AC = x + 4, BD = 6⁩ ו־⁦DC = 9⁩. מה ערכו של x?

..........................................................

שאלה 8

היקף משולש ABC הוא ⁦30, AB = 8⁩ ו־⁦AC = 12⁩. חוצה זווית A חותך את BC בנקודה D. מה אורך BD?

..........................................................

שאלה 9

במשולש ABC הקטע BE חוצה את זווית B, ו־E על AC. נתון ⁦AB = 6, BC = 9⁩ ו־⁦AC = 10⁩. מה אורך AE?

..........................................................

שאלה 10

במשולש ABC חוצי הזוויות של A ושל B נפגשים בנקודה I. נתון ⁦∠A = 50°⁩ ו־⁦∠B = 70°⁩. מה גודל ⁦∠ACI⁩ במעלות?

..........................................................

שאלה 11

במשולש ABC נתון ⁦AB = 12, AC = 18⁩ ו־⁦BC = 20⁩. הנקודה D על BC ו־⁦BD = 8⁩. נתון ⁦∠BAC = 70°⁩. מה גודל ⁦∠BAD⁩ במעלות?

..........................................................

שאלה 12

במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, ו־D על BC. נתון ⁦AB = 10, AC = 15, BD = x⁩ ו־⁦DC = x + 3⁩. מה ערכו של x?

..........................................................

פתרונות

הצגת פתרון מלא

שאלה 1: 6

לפי משפט חוצה הזווית: ⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : AC⁩.
⁦⁦4 : ⁦DC = 6⁩ : 9⁩⁩, ולכן ⁦⁦DC = 4 · 9⁩ : ⁦6 = 6⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 2: 6

⁦BD : ⁦⁦DC = AB⁩ : ⁦AC = 8⁩ : ⁦12 = 2⁩ : 3⁩⁩.
הצלע BC מתחלקת ל־5 חלקים שווים, כל חלק ⁦15 : ⁦5 = 3⁩⁩.
⁦BD = 2 · 3 = 6⁩, ובדיקה: ⁦DC = 9⁩ ו־⁦6 + 9 = 15⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 3: 7

לפי משפט חוצה הזווית: ⁦BD : ⁦⁦DC = AB⁩ : ⁦AC = 1⁩ : 1⁩⁩.
לכן ⁦⁦BD = DC = 14⁩ : ⁦2 = 7⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 4: AD חוצה את זווית A

בודקים את היחסים: ⁦BD : ⁦⁦DC = 3⁩ : 5⁩⁩, ו־⁦AB : ⁦⁦AC = 6⁩ : ⁦10 = 3⁩ : 5⁩⁩.
היחסים שווים ו־D על BC, ולכן לפי המשפט ההפוך AD חוצה את זווית A.

הצגת פתרון מלא

שאלה 5: 8

⁦BD : ⁦DC = AB⁩ : AC⁩.
⁦⁦6 : ⁦9 = AB⁩ : 12⁩⁩, ולכן ⁦⁦AB = 6 · 12⁩ : ⁦9 = 8⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 6: 35

⁦BD : ⁦⁦DC = 10⁩ : ⁦15 = 2⁩ : 3⁩⁩, ולכן ⁦⁦DC = 4 · 3⁩ : ⁦2 = 6⁩⁩.
⁦BC = 4 + 6 = 10⁩.
היקף = ⁦10 + 15 + 10 = 35⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 7: 8

לפי המשפט: ⁦x : ⁦(x + 4) = 6⁩ : 9⁩.
⁦9x = 6x + 24⁩, ולכן ⁦3x = 24⁩ ו־⁦x = 8⁩.
בדיקה: הצלעות 8, 12 ו־15 יוצרות משולש, ו־⁦⁦8 : ⁦12 = 6⁩ : 9⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 8: 4

⁦BC = 30 − 8 − 12 = 10⁩.
⁦BD : ⁦⁦DC = 8⁩ : ⁦12 = 2⁩ : 3⁩⁩, כל חלק ⁦10 : ⁦5 = 2⁩⁩.
⁦BD = 2 · 2 = 4⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 9: 4

כאן הקודקוד הוא B, ולכן ⁦AE : ⁦⁦EC = BA⁩ : ⁦BC = 6⁩ : ⁦9 = 2⁩ : 3⁩⁩.
AC מתחלקת ל־5 חלקים, כל חלק 2, ולכן ⁦AE = 4⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 10: 30

לפי משפט נקודת מפגש חוצי הזוויות, גם חוצה זווית C עובר דרך I, ולכן CI חוצה את זווית C.
⁦∠C = 180° − 50° − 70° = 60°⁩, ולכן ⁦∠ACI = 30°⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 11: 35

⁦DC = 20 − 8 = 12⁩, ולכן ⁦BD : ⁦⁦DC = 8⁩ : ⁦12 = 2⁩ : 3⁩⁩. גם ⁦AB : ⁦⁦AC = 12⁩ : ⁦18 = 2⁩ : 3⁩⁩.
D על BC והיחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך AD חוצה את זווית A.
⁦⁦∠BAD = 70°⁩ : ⁦2 = 35°⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 12: 6

⁦x : ⁦(x + 3)⁩⁩ = ⁦⁦10 : ⁦15 = 2⁩ : 3⁩⁩.
⁦3x = 2x + 6⁩, ולכן ⁦x = 6⁩.
בדיקה: ⁦BC = 6 + 9 = 15⁩, והצלעות 10, 15 ו־15 יוצרות משולש.