גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | שיעור בשישה שלבים וחמש דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | תשפ״ז
שיעור בגאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון לכיתה י׳, 5 יחידות: ההסבר, ואחריו 5 דוגמאות פתורות שלב אחר שלב.
השיעור
שלב 1 | קטע אמצעים
קטע אמצעים במשולש מחבר אמצעי שתי צלעות. הוא מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה. המשפט ההפוך: ישר שיוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית. בטרפז, קטע האמצעים מחבר את אמצעי השוקיים, מקביל לבסיסים ושווה לממוצע שלהם.
שלב 2 | תיכונים
תיכון מחבר קודקוד עם אמצע הצלע שמולו. שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2:1, כשהחלק הארוך ליד הקודקוד. במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר.
שלב 3 | משפט תאלס וההפוך
משפט תאלס: ישרים מקבילים החותכים שני ישרים יוצרים עליהם קטעים פרופורציוניים. במשולש ABC עם DE ∥ BC, כאשר D על AB ו־E על AC, מתקיים AD:DB = AE:EC. המשפט ההפוך: אם AD:DB = AE:EC, אז DE ∥ BC. כדי לשלול מקבילות מספיק להראות שהיחסים שונים.
שלב 4 | ההרחבה של תאלס
במשולש עם DE ∥ BC מתקיים גם AD:AB = AE:AC = DE:BC. שימו לב: הצלע המקבילה DE משתווה ליחס של קטע מהקודקוד אל הצלע כולה, ולא ליחס בין שני חלקי הצלע.
שלב 5 | חוצה זווית
משפט חוצה הזווית: במשולש ABC, אם AD חוצה את זווית A ו־D על BC, אז BD:DC = AB:AC. כל קטע על BC מתאים לצלע הסמוכה לו. המשפט ההפוך: אם נקודה D על BC מקיימת BD:DC = AB:AC, אז AD חוצה את זווית A.
שלב 6 | דמיון משולשים
שלושה משפטי דמיון: ז.ז, שתי זוויות שוות בהתאמה; צ.ז.צ, שתי צלעות פרופורציוניות והזווית שביניהן שווה; צ.צ.צ, שלוש צלעות פרופורציוניות. בכתיבה △ABC ∼ △DEF, סדר הקודקודים קובע את ההתאמה, ולכן AB:DE = BC:EF = AC:DF. כל יחס בין צלעות מתאימות שווה ליחס הדמיון.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | קטע אמצעים ותיכון
במשולש ABC הנקודות D ו־E הן אמצעי AB ו־AC, ונתון BC = 16. עוד נתון שהתיכון מ־A שווה ל־12. מצאו את DE ואת המרחק של נקודת מפגש התיכונים מ־A.
DE הוא קטע אמצעים, ולכן DE = 16 : 2 = 8.
נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכון ביחס 2:1 מהקודקוד.
המרחק מ־A הוא 12 · 2 : 3 = 8.
תשובה: DE = 8, והמרחק מ־A הוא 8
דוגמה 2 | תאלס וההרחבה
במשולש ABC נתון DE ∥ BC, כאשר D על AB ו־E על AC. עוד נתון AD = 6, DB = 4, AE = 9 ו־BC = 15. מצאו את EC ואת DE.
לפי משפט תאלס: 6:4 = 9:EC, ולכן EC = 6.
לפי ההרחבה: DE:BC = AD:AB = 6:10.
DE = 15 · 6 : 10 = 9.
תשובה: EC = 6, DE = 9
דוגמה 3 | ההפוך של תאלס
במשולש ABC נתון AD = 4, DB = 6, AE = 6 ו־EC = 9, כאשר D על AB ו־E על AC. הוכיחו ש־DE ∥ BC.
AD:DB = 4:6 = 2:3.
AE:EC = 6:9 = 2:3.
היחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך של תאלס DE ∥ BC.
תשובה: DE ∥ BC לפי ההפוך של תאלס
דוגמה 4 | חוצה זווית
במשולש ABC נתון AB = 12, AC = 18 ו־BC = 20. חוצה זווית A פוגש את BC בנקודה D. מצאו את BD ואת DC.
BD:DC = AB:AC = 12:18 = 2:3.
BC מתחלק ל־5 חלקים שווים, כל חלק 4.
BD = 8 ו־DC = 12. בדיקה: 8 + 12 = 20.
תשובה: BD = 8, DC = 12
דוגמה 5 | הוכחת דמיון וחישוב
בטרפז ABCD הבסיסים AB ∥ CD, ונתון AB = 15 ו־CD = 10. האלכסונים נפגשים בנקודה O, ו־OC = 6. הוכיחו ש־△AOB ∼ △COD ומצאו את AO.
הזוויות OAB ו־OCD שוות כזוויות מתחלפות בין מקבילים.
הזוויות AOB ו־COD שוות כזוויות קודקודיות.
לכן △AOB ∼ △COD לפי ז.ז, וסדר הקודקודים נותן AO:CO = AB:CD = 15:10.
AO = 6 · 15 : 10 = 9.
תשובה: △AOB ∼ △COD לפי ז.ז, ו־AO = 9