מעגל קנוני | דף עבודה להדפסה | 12 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | מעגל קנוני | תשפ״ז
דף עבודה להדפסה במעגל קנוני לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.
לפני שמתחילים
מציבים את הנקודה או את הישר במשוואת המעגל. משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
תזכורת
- x² + y² = R².
- משיק בנקודה (x₀, y₀): x₀x + y₀y = R².
- מיתר אופקי y = k: אורך 2√(R² − k²).
- מציבים ומקבלים משוואה ריבועית.
שאלות
שאלה 1
מהו הרדיוס של המעגל x² + y² = 25?
..........................................................
..........................................................
שאלה 2
היכן נמצאת הנקודה (1, 2) ביחס למעגל x² + y² = 16?
אפשרויות: בתוך המעגל | על המעגל | מחוץ למעגל | במרכז המעגל
..........................................................
..........................................................
שאלה 3
הנקודה (5, y) נמצאת על המעגל x² + y² = 169, ו־y > 0. מהו y?
..........................................................
..........................................................
שאלה 4
מעגל שמרכזו בראשית עובר דרך (−8, 6). מהו הרדיוס?
..........................................................
..........................................................
שאלה 5
באילו נקודות חותך הישר y = x + 1 את המעגל x² + y² = 25?
אפשרויות: (3, 4) ו־(−4, −3) | (4, 3) ו־(−3, −4) | (3, 4) בלבד | (−3, 4) ו־(4, −3)
..........................................................
..........................................................
שאלה 6
מהי משוואת המשיק למעגל x² + y² = 25 בנקודה (3, 4)?
אפשרויות: 3x + 4y = 25 | 4x + 3y = 25 | 3x − 4y = 25 | 3x + 4y = 5
..........................................................
..........................................................
שאלה 7
הישר y = 3 חותך את המעגל x² + y² = 25. מה אורך המיתר?
..........................................................
..........................................................
שאלה 8
לאיזה k חיובי הישר y = k משיק למעגל x² + y² = 16?
..........................................................
..........................................................
שאלה 9
באילו נקודות חותך הישר y = 3x את המעגל x² + y² = 10?
אפשרויות: (1, 3) ו־(−1, −3) | (3, 1) ו־(−3, −1) | (1, 3) בלבד | (1, −3) ו־(−1, 3)
..........................................................
..........................................................
שאלה 10
לאיזה c חיובי הישר y = x + c משיק למעגל x² + y² = 8?
..........................................................
..........................................................
שאלה 11
הישר y = 4 חותך את המעגל x² + y² = 25 בשתי נקודות. מה שטח המשולש שקודקודיו שתי הנקודות והראשית?
..........................................................
..........................................................
שאלה 12
המשיק למעגל x² + y² = 100 בנקודה (−6, 8) חותך את ציר ה־y. באיזה שיעור?
..........................................................
..........................................................
פתרונות מלאים
הצגת פתרון מלא
שאלה 1: 5
-
במעגל קנוני x² + y² = R².
-
R² = 25, ולכן R = 5.
הצגת פתרון מלא
שאלה 2: בתוך המעגל
-
מציבים: 1 + 4 = 5.
-
5 < 16, ולכן הנקודה קרובה לראשית יותר מהרדיוס: בתוך המעגל.
הצגת פתרון מלא
שאלה 3: 12
-
25 + y² = 169, ולכן y² = 144.
-
y > 0, ולכן y = 12.
הצגת פתרון מלא
שאלה 4: 10
-
R² = (−8)² + 6² = 64 + 36 = 100.
-
R = 10.
הצגת פתרון מלא
שאלה 5: (3, 4) ו־(−4, −3)
-
מציבים: x² + (x + 1)² = 25, ולכן 2x² + 2x − 24 = 0.
-
x² + x − 12 = 0: x = 3 או x = −4.
-
y = x + 1: הנקודות (3, 4) ו־(−4, −3).
הצגת פתרון מלא
שאלה 6: 3x + 4y = 25
-
המשיק מאונך לרדיוס. שיפוע הרדיוס 4/3, ולכן שיפוע המשיק −3/4.
-
y − 4 = −¾(x − 3).
-
מכפילים ב־4 ומסדרים: 3x + 4y = 25.
הצגת פתרון מלא
שאלה 7: 8
-
מציבים y = 3: x² = 16, x = ±4.
-
הקצוות (−4, 3) ו־(4, 3), והמרחק ביניהם 8.
הצגת פתרון מלא
שאלה 8: 4
-
ישר אופקי משיק כשהוא במרחק רדיוס מהמרכז.
-
R = 4, ולכן k = 4 (הנקודה (0, 4)).
הצגת פתרון מלא
שאלה 9: (1, 3) ו־(−1, −3)
-
מציבים: x² + 9x² = 10, ולכן x² = 1.
-
x = 1 או x = −1, ו־y = 3x.
הצגת פתרון מלא
שאלה 10: 4
-
מציבים: x² + (x + c)² = 8, ולכן 2x² + 2cx + c² − 8 = 0.
-
משיק: דיסקרימיננטה 0: 4c² − 8(c² − 8) = 0.
-
64 − 4c² = 0, ולכן c = 4 (החיובי).
הצגת פתרון מלא
שאלה 11: 12
-
y = 4: x² = 9, הנקודות (−3, 4) ו־(3, 4).
-
בסיס 6, גובה 4 (המרחק של הישר מהראשית).
-
שטח = 6 · 4 ÷ 2 = 12.
הצגת פתרון מלא
שאלה 12: 12.5
-
משיק בנקודה (x₀, y₀) למעגל קנוני: x₀x + y₀y = R², כלומר −6x + 8y = 100.
-
x = 0: 8y = 100.
-
y = 12.5.