דף תרגול

מעגל קנוני | דף עבודה להדפסה | 12 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | מעגל קנוני | תשפ״ז

דף עבודה להדפסה במעגל קנוני לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.

מטרות הלמידה

לכתוב משוואת מעגל קנוני ולקבוע מיקום של נקודה ביחס למעגל
למצוא חיתוך של מעגל עם ישר ואורך מיתר
למצוא משיק בנקודה ולקבוע מתי ישר משיק למעגל

לפני שמתחילים

מציבים את הנקודה או את הישר במשוואת המעגל. משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.

תזכורת

⁦x² + y² = R²⁩.
משיק בנקודה ⁦(x₀, y₀)⁩: ⁦x₀x + y₀y = R²⁩.
מיתר אופקי ⁦y = k⁩: אורך ⁦2√(R² − k²)⁩.
מציבים ומקבלים משוואה ריבועית.

שאלות

שאלה 1

מהו הרדיוס של המעגל ⁦x² + y² = 25⁩?

..........................................................

שאלה 2

היכן נמצאת הנקודה ⁦(1, 2)⁩ ביחס למעגל ⁦x² + y² = 16⁩?

אפשרויות: בתוך המעגל | על המעגל | מחוץ למעגל | במרכז המעגל

..........................................................

שאלה 3

הנקודה ⁦(5, y)⁩ נמצאת על המעגל ⁦x² + y² = 169⁩, ו־⁦y > 0⁩. מהו y?

..........................................................

שאלה 4

מעגל שמרכזו בראשית עובר דרך ⁦(−8, 6)⁩. מהו הרדיוס?

..........................................................

שאלה 5

באילו נקודות חותך הישר ⁦y = x + 1⁩ את המעגל ⁦x² + y² = 25⁩?

אפשרויות: ⁦(3, 4)⁩ ו־⁦(−4, −3)⁩ | ⁦(4, 3)⁩ ו־⁦(−3, −4)⁩ | ⁦(3, 4)⁩ בלבד | ⁦(−3, 4)⁩ ו־⁦(4, −3)⁩

..........................................................

שאלה 6

מהי משוואת המשיק למעגל ⁦x² + y² = 25⁩ בנקודה ⁦(3, 4)⁩?

אפשרויות: ⁦3x + 4y = 25⁩ | ⁦4x + 3y = 25⁩ | ⁦3x − 4y = 25⁩ | ⁦3x + 4y = 5⁩

..........................................................

שאלה 7

הישר ⁦y = 3⁩ חותך את המעגל ⁦x² + y² = 25⁩. מה אורך המיתר?

..........................................................

שאלה 8

לאיזה k חיובי הישר ⁦y = k⁩ משיק למעגל ⁦x² + y² = 16⁩?

..........................................................

שאלה 9

באילו נקודות חותך הישר ⁦y = 3x⁩ את המעגל ⁦x² + y² = 10⁩?

אפשרויות: ⁦(1, 3)⁩ ו־⁦(−1, −3)⁩ | ⁦(3, 1)⁩ ו־⁦(−3, −1)⁩ | ⁦(1, 3)⁩ בלבד | ⁦(1, −3)⁩ ו־⁦(−1, 3)⁩

..........................................................

שאלה 10

לאיזה c חיובי הישר ⁦y = x + c⁩ משיק למעגל ⁦x² + y² = 8⁩?

..........................................................

שאלה 11

הישר ⁦y = 4⁩ חותך את המעגל ⁦x² + y² = 25⁩ בשתי נקודות. מה שטח המשולש שקודקודיו שתי הנקודות והראשית?

..........................................................

שאלה 12

המשיק למעגל ⁦x² + y² = 100⁩ בנקודה ⁦(−6, 8)⁩ חותך את ציר ה־y. באיזה שיעור?

..........................................................

פתרונות

הצגת פתרון מלא

שאלה 1: 5

במעגל קנוני ⁦x² + y² = R²⁩.
⁦R² = 25⁩, ולכן ⁦R = 5⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 2: בתוך המעגל

מציבים: ⁦1 + 4 = 5⁩.
⁦5 < 16⁩, ולכן הנקודה קרובה לראשית יותר מהרדיוס: בתוך המעגל.

הצגת פתרון מלא

שאלה 3: 12

⁦25 + y² = 169⁩, ולכן ⁦y² = 144⁩.
⁦y > 0⁩, ולכן ⁦y = 12⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 4: 10

⁦R² = (−8)² + 6² = 64 + 36 = 100⁩.
⁦R = 10⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 5: ⁦(3, 4)⁩ ו־⁦(−4, −3)⁩

מציבים: ⁦x² + (x + 1)² = 25⁩, ולכן ⁦2x² + 2x − 24 = 0⁩.
⁦x² + x − 12 = 0⁩: ⁦x = 3⁩ או ⁦x = −4⁩.
⁦y = x + 1⁩: הנקודות ⁦(3, 4)⁩ ו־⁦(−4, −3)⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 6: ⁦3x + 4y = 25⁩

המשיק מאונך לרדיוס. שיפוע הרדיוס ⁦4/3⁩, ולכן שיפוע המשיק ⁦−3/4⁩.
⁦y − 4⁩ = −¾⁦(x − 3)⁩.
מכפילים ב־4 ומסדרים: ⁦3x + 4y = 25⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 7: 8

מציבים ⁦y = 3⁩: ⁦x² = 16, x⁩ = ±4.
הקצוות ⁦(−4, 3)⁩ ו־⁦(4, 3)⁩, והמרחק ביניהם 8.

הצגת פתרון מלא

שאלה 8: 4

ישר אופקי משיק כשהוא במרחק רדיוס מהמרכז.
⁦R = 4⁩, ולכן ⁦k = 4⁩ (הנקודה ⁦(0, 4))⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 9: ⁦(1, 3)⁩ ו־⁦(−1, −3)⁩

מציבים: ⁦x² + 9x² = 10⁩, ולכן ⁦x² = 1⁩.
⁦x = 1⁩ או ⁦x = −1⁩, ו־⁦y = 3x⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 10: 4

מציבים: ⁦x² + (x + c)² = 8⁩, ולכן ⁦2x² + 2cx + c² − 8 = 0⁩.
משיק: דיסקרימיננטה 0: ⁦4c² − 8(c² − 8) = 0⁩.
⁦64 − 4c² = 0⁩, ולכן ⁦c = 4⁩ (החיובי).

הצגת פתרון מלא

שאלה 11: 12

⁦y = 4⁩: ⁦x² = 9⁩, הנקודות ⁦(−3, 4)⁩ ו־⁦(3, 4)⁩.
בסיס 6, גובה 4 (המרחק של הישר מהראשית).
שטח = ⁦6 · 4 ÷ 2 = 12⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 12: 12.5

משיק בנקודה ⁦(x₀, y₀)⁩ למעגל קנוני: ⁦x₀x + y₀y = R²⁩, כלומר ⁦−6x + 8y = 100⁩.
⁦x = 0⁩: ⁦8y = 100⁩.
⁦y = 12.5⁩.