מעגל קנוני | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | מעגל קנוני | תשפ״ז
שיעור וארבע דוגמאות פתורות במעגל קנוני לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.
השיעור
המשוואה
מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו R: x² + y² = R². נקודה (x, y) על המעגל אם x² + y² = R², בתוכו אם x² + y² < R², ומחוצה לו אם x² + y² > R².
מעגל וישר
מציבים את משוואת הישר במשוואת המעגל ומקבלים משוואה ריבועית. שני פתרונות: הישר חותך. פתרון אחד (דיסקרימיננטה 0): הישר משיק. אין פתרון: הישר מחוץ למעגל.
משיק בנקודה
המשיק מאונך לרדיוס שבנקודת ההשקה, ולכן מכפלת השיפועים −1. במעגל קנוני המשיק בנקודה (x₀, y₀) הוא x₀x + y₀y = R².
מיתרים
קצות המיתר הם פתרונות מערכת המעגל והישר. אורך המיתר: מרחק בין שתי הנקודות. מיתר אופקי y = k: אורך 2√(R² − k²).
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | מיקום
היכן נמצאת (4, −5) ביחס ל־x² + y² = 40?
16 + 25 = 41.
41 > 40: מחוץ למעגל.
תשובה: מחוץ למעגל
דוגמה 2 | חיתוך
מצאו את החיתוך של y = x − 1 עם x² + y² = 13.
x² + (x − 1)² = 13, ולכן 2x² − 2x − 12 = 0.
x² − x − 6 = 0: x = 3 או x = −2.
הנקודות (3, 2) ו־(−2, −3).
תשובה: (3, 2), (−2, −3)
דוגמה 3 | משיק
מצאו את המשיק ל־x² + y² = 13 בנקודה (2, 3).
x₀x + y₀y = R²: 2x + 3y = 13.
בדיקה: שיפוע הרדיוס 3/2, שיפוע המשיק −2/3, ומכפלתם −1.
תשובה: 2x + 3y = 13
דוגמה 4 | ישר משיק
לאיזה c חיובי y = −x + c משיק ל־x² + y² = 2?
x² + (c − x)² = 2, ולכן 2x² − 2cx + c² − 2 = 0.
דיסקרימיננטה 0: 4c² − 8(c² − 2) = 0.
16 − 4c² = 0, c = 2.
תשובה: c = 2