מעגל: קשתות, מיתרים וזוויות | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | מעגל: קשתות, מיתרים וזוויות | תשפ״ז
שיעור במעגל: קשתות, מיתרים וזוויות לכיתה י׳, 5 יחידות: ההסבר, ואחריו 4 דוגמאות פתורות שלב אחר שלב.
השיעור
שפת המעגל
O מרכז המעגל. רדיוס מחבר את O לנקודה על המעגל. מיתר מחבר שתי נקודות על המעגל, וקוטר הוא מיתר שעובר דרך O. קשת היא חלק מהמעגל בין שתי נקודות. זווית מרכזית: הקודקוד ב־O. זווית היקפית: הקודקוד על המעגל, ושוקיה מיתרים.
מרכזיות, קשתות ומיתרים
לזוויות מרכזיות שוות מתאימות קשתות שוות ומיתרים שווים. האנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר, את הזווית המרכזית המתאימה ואת הקשת המתאימה. מבין שני מיתרים, הגדול קרוב יותר למרכז.
הזווית ההיקפית
זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת. לכן זוויות היקפיות על אותה קשת (או על קשתות שוות) שוות, ולזוויות היקפיות שוות מתאימים קשתות ומיתרים שווים. זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | מרכזית והיקפית
במעגל שמרכזו O נתון ∠AOB = 96°, ו־C על הקשת הגדולה AB. מצאו את ∠ACB.
שתי הזוויות נשענות על הקשת AB.
∠ACB = 96 : 2 = 48.
תשובה: ∠ACB = 48°
דוגמה 2 | מרחק מיתר
רדיוס המעגל 17 ואורך המיתר 30. מצאו את מרחק המיתר מהמרכז.
האנך מהמרכז חוצה את המיתר: חצי מיתר 15.
d² = 17² − 15² = 64, ולכן d = 8.
תשובה: 8
דוגמה 3 | קוטר
AB קוטר, C על המעגל ו־∠ABC = 34°. מצאו את ∠CAB ונמקו.
∠ACB = 90: זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה.
∠CAB = 180 − 90 − 34 = 56.
תשובה: ∠CAB = 56°
דוגמה 4 | הוכחה: מיתרים שווים
במעגל שמרכזו O נתון ∠AOB = ∠COD. הוכיחו ש־AB = CD.
OA = OB = OC = OD רדיוסים.
∠AOB = ∠COD נתון.
המשולשים AOB ו־COD חופפים לפי צלע־זווית־צלע, ולכן AB = CD.
תשובה: לזוויות מרכזיות שוות מתאימים מיתרים שווים