חשבון דיפרנציאלי | ארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות

דוגמה 1 | מהגדרת הנגזרת למשיק

1. מחשבים f(1)=3. עבור h≠0, המנה [(1+h)²+2−3]/h=(2h+h²)/h=2+h.

2. כאשר h מתקרב לאפס המנה מתקרבת ל־2, ולכן f′(1)=2. זה שיפוע המשיק ולא ערך הפונקציה.

3. המשיק דרך (1,3): y−3=2(x−1), ולכן y=2x+1. בדיקה בהצבת 1 נותנת 3.

תשובה: f′(1)=2; y=2x+1

דוגמה 2 | מכפלה והרכבה יחד

1. יש מכפלה של שני גורמים; גוזרים אחד ומשאירים את השני, ואז מחליפים: f′=(x²−2)²+(x+1)·2(x²−2)·2x.

2. בגורם השני השתמשנו בכלל השרשרת: נגזרת הפנימית x²−2 היא 2x.

3. מוציאים x²−2: מתקבל f′=(x²−2)[x²−2+4x(x+1)]=(x²−2)(5x²+4x−2). אפשר לפתוח לבדיקה אך אין צורך.

תשובה: f′(x)=(x²−2)(5x²+4x−2)

דוגמה 3 | חקירה והקשר לגרף הנגזרת

1. התחום כל הממשיים. f=x(x²−3), ולכן האפסים −√3,0,√3. הפונקציה אי־זוגית, כי f(−x)=−f(x).

2. f′=3(x−1)(x+1). הנגזרת חיובית ב־x<−1 וב־x>1 ושלילית בין −1 ל־1. זה בדיוק הקשר בין מיקום גרף הנגזרת מעל או מתחת לציר x לבין עלייה או ירידה של f.

3. ב־−1 יש מקסימום מקומי עם ערך 2; ב־1 מינימום מקומי עם ערך −2. משתמשים בהחלפת סימן, לא רק בנגזרת אפס.

4. f(0)=0 ו־f′(0)=−3, ולכן המשיק y=−3x. גרף f והמשיק נפגשים בראשית אבל אינם אותו גרף.

תשובה: מקסימום (−1,2), מינימום (1,−2); משיק y=−3x.

דוגמה 4 | שטח מרבי עם תחום

1. אם צלע אחת x, השנייה 12−x מתוך 2x+2y=24. צלעות חיוביות נותנות 0<x<12.

2. פונקציית השטח A=x(12−x)=12x−x²; נגזרתה A′=12−2x. האפס הוא 6.

3. לפני 6 הנגזרת חיובית ואחריו שלילית, ולכן זה מקסימום. שתי הצלעות 6 ס״מ והשטח 36 סמ״ר.

4. בקצוות המורחבים 0 ו־12 השטח אפס. אין צורך בנגזרת שנייה; סימן הנגזרת מספק הוכחה. זה תרגול כיתה י׳ בגאומטריה במישור, לא הבטחה למבנה שאלון בגרות.

תשובה: ריבוע 6×6 ס״מ; שטח מרבי 36 סמ״ר.