חשבון דיפרנציאלי של פולינום | מבחן נושא | 12 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

תשובות לתרגול

1. 11

   1. ⁦f′(x) = 12x² − 1⁩.

   2. ⁦f′(1) = 12 − 1 = 11⁩.

2. 4

   1. השינוי בערך הפונקציה: ⁦f(3) − f(1) = 9 − 1 = 8⁩.

   2. השינוי ב־x הוא 2, ולכן הקצב הממוצע ⁦8 : ⁦2 = 4⁩⁩.

3. 3

   1. ⁦f′(x) = 3x²⁩.

   2. ⁦f′(−1) = 3 · 1 = 3⁩.

4. ⁦y = 2x⁩

   1. נקודת ההשקה: ⁦f(0) = 0⁩, כלומר הראשית.

   2. השיפוע: ⁦f′(x) = 2x + 2⁩, ולכן ⁦f′(0) = 2⁩.

   3. משיק דרך הראשית עם שיפוע 2: ⁦y = 2x⁩.

5. −4

   1. ⁦f′(x) = 2x − 6 = 0⁩, ולכן ⁦x = 3⁩. הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום.

   2. ⁦f(3) = 9 − 18 + 5 = −4⁩.

6. ⁦x < 2⁩

   1. f עולה היכן שהנגזרת חיובית.

   2. ⁦−3x + 6 > 0⁩, כלומר ⁦3x < 6⁩ ולכן ⁦x < 2⁩.

7. 0

   1. לפי כלל המכפלה, ובגזירת ⁦(x − 3)²⁩ לפי כלל השרשרת: ⁦f′(x) = (x − 3)² + x · 2(x − 3)⁩.

   2. מציבים ⁦x = 1⁩: ⁦4 + 1 · 2 · (−2) = 4 − 4 = 0⁩.

8. 6

   1. ⁦f′(x) = 2(3x − 2) · 3⁩.

   2. מציבים ⁦x = 1⁩: ⁦2 · 1 · 3 = 6⁩.

9. יש ל־f מינימום ב־⁦x = 1⁩

   1. משמאל ל־1 הנגזרת שלילית ו־f יורדת.

   2. מימין ל־1 הנגזרת חיובית ו־f עולה.

   3. ירידה ואחריה עלייה: מינימום ב־⁦x = 1⁩.

10. צריך לבדוק שהנגזרת מחליפה סימן סביב ⁦x = 2⁩

    1. נגזרת שמתאפסת מסמנת רק נקודה חשודה.

    2. קיצון יש רק אם הנגזרת מחליפה סימן סביב הנקודה. למשל ל־⁦f(x) = (x − 2)³⁩ הנגזרת מתאפסת ב־⁦x = 2⁩, והפונקציה עולה משני הצדדים.

11. −4

    1. ⁦f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)⁩, ולכן נקודות חשודות ב־⁦x = 0⁩ וב־⁦x = 2⁩.

    2. משמאל ל־0 הנגזרת חיובית, בין 0 ל־2 שלילית ומימין ל־2 חיובית.

    3. ב־⁦x = 0⁩ מקסימום מקומי ⁦(f(0) = 0)⁩, וב־⁦x = 2⁩ מינימום מקומי.

    4. ⁦f(2) = 8 − 12 = −4⁩.

12. 108

    1. אם הקודקוד הימני העליון ⁦(x, 27 − x²)⁩, השטח ⁦S(x) = 2x(27 − x²) = 54x − 2x³⁩.

    2. ⁦S′(x) = 54 − 6x² = 0⁩, ולכן ⁦x² = 9⁩ ו־⁦x = 3⁩ (בתחום ⁦x > 0)⁩.

    3. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית ב־⁦x = 3⁩, ולכן זה מקסימום.

    4. ⁦S(3) = 6 · 18 = 108⁩.