בוחן קצר

חשבון דיפרנציאלי של פולינום | מבחן נושא | 12 שאלות | כיתה י׳, 4 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | חשבון דיפרנציאלי של פולינום | תשפ״ז

מבחן נושא בחשבון דיפרנציאלי של פולינום לכיתה י׳, 4 יחידות: 12 שאלות על כל חמשת התחומים, 100 נקודות, 25 דקות.

מטרות הלמידה

להבין את הנגזרת כקצב שינוי וכשיפוע המשיק, ולגזור פולינום
למצוא משוואת משיק ולחקור פולינום: תחומי עלייה וירידה ונקודות קיצון
לקרוא מגרף הנגזרת את התנהגות הפונקציה, ולנמק
לגזור מכפלה והרכבה של פולינומים
לפתור בעיות קיצון בהקשר גאומטרי וגרפי

הנחיות

12 שאלות. שאלות 1 עד 8: 8 נקודות לכל שאלה. שאלות 9 עד 12: 9 נקודות לכל שאלה. סך הכול 100 נקודות. זמן: 25 דקות. ענו על כל השאלות, ובסוף לחצו על בדיקת התשובות.

תרגול

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = 4x³ − x⁩. מהו f′(1)?
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x²⁩. מהו קצב השינוי הממוצע שלה בין ⁦x = 1⁩ ל־⁦x = 3⁩?
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x³⁩. מהו שיפוע המשיק לגרף בנקודה שבה ⁦x = −1⁩?
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x² + 2x⁩. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה שבה ⁦x = 0⁩?
1. ⁦y = 2x + 2⁩
2. ⁦y = x⁩
3. ⁦y = 2x⁩
4. ⁦y = 2⁩
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x² − 6x + 5⁩. מהו הערך הקטן ביותר של הפונקציה?
נתון ⁦f′(x) = −3x + 6⁩. באיזה תחום הפונקציה f עולה?
1. ⁦x < 2⁩
2. ⁦x > 2⁩
3. ⁦x < −2⁩
4. ⁦x > 6⁩
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x(x − 3)²⁩. מהו f′(1)?
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = (3x − 2)²⁩. מהו f′(1)?
בגרף של f′ רואים ש־⁦f′(x) < 0⁩ לכל ⁦x < 1⁩, ו־⁦f′(x) > 0⁩ לכל ⁦x > 1⁩. מה נכון לגבי f?
1. יש ל־f מקסימום ב־⁦x = 1⁩
2. f עולה בכל התחום
3. הגרף של f חותך את ציר x ב־⁦x = 1⁩
4. יש ל־f מינימום ב־⁦x = 1⁩
תלמיד כתב: "⁦f′(2) = 0⁩, ולכן יש ל־f נקודת קיצון ב־⁦x = 2⁩". למה הנימוק אינו מספיק?
1. צריך לבדוק ש־⁦f(2) = 0⁩
2. צריך לבדוק שהנגזרת מחליפה סימן סביב ⁦x = 2⁩
3. הנימוק נכון ומספיק
4. צריך לבדוק שהנגזרת חיובית ב־⁦x = 2⁩
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x³ − 3x²⁩. מצאו את נקודות הקיצון שלה וקבעו את סוגן. מהו ערך הפונקציה בנקודת המינימום המקומי?
מלבן חסום בין ציר x לגרף ⁦y = 27 − x²⁩: שני קודקודים על ציר x, ושני האחרים על הגרף, באופן סימטרי לציר y. מהו השטח הגדול ביותר של המלבן?

תשובות לתרגול

11
1. ⁦f′(x) = 12x² − 1⁩.
2. ⁦f′(1) = 12 − 1 = 11⁩.
4
1. השינוי בערך הפונקציה: ⁦f(3) − f(1) = 9 − 1 = 8⁩.
2. השינוי ב־x הוא 2, ולכן הקצב הממוצע ⁦8 : ⁦2 = 4⁩⁩.
3
1. ⁦f′(x) = 3x²⁩.
2. ⁦f′(−1) = 3 · 1 = 3⁩.
⁦y = 2x⁩
1. נקודת ההשקה: ⁦f(0) = 0⁩, כלומר הראשית.
2. השיפוע: ⁦f′(x) = 2x + 2⁩, ולכן ⁦f′(0) = 2⁩.
3. משיק דרך הראשית עם שיפוע 2: ⁦y = 2x⁩.
−4
1. ⁦f′(x) = 2x − 6 = 0⁩, ולכן ⁦x = 3⁩. הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום.
2. ⁦f(3) = 9 − 18 + 5 = −4⁩.
⁦x < 2⁩
1. f עולה היכן שהנגזרת חיובית.
2. ⁦−3x + 6 > 0⁩, כלומר ⁦3x < 6⁩ ולכן ⁦x < 2⁩.
0
1. לפי כלל המכפלה, ובגזירת ⁦(x − 3)²⁩ לפי כלל השרשרת: ⁦f′(x) = (x − 3)² + x · 2(x − 3)⁩.
2. מציבים ⁦x = 1⁩: ⁦4 + 1 · 2 · (−2) = 4 − 4 = 0⁩.
6
1. ⁦f′(x) = 2(3x − 2) · 3⁩.
2. מציבים ⁦x = 1⁩: ⁦2 · 1 · 3 = 6⁩.
יש ל־f מינימום ב־⁦x = 1⁩
1. משמאל ל־1 הנגזרת שלילית ו־f יורדת.
2. מימין ל־1 הנגזרת חיובית ו־f עולה.
3. ירידה ואחריה עלייה: מינימום ב־⁦x = 1⁩.
צריך לבדוק שהנגזרת מחליפה סימן סביב ⁦x = 2⁩
1. נגזרת שמתאפסת מסמנת רק נקודה חשודה.
2. קיצון יש רק אם הנגזרת מחליפה סימן סביב הנקודה. למשל ל־⁦f(x) = (x − 2)³⁩ הנגזרת מתאפסת ב־⁦x = 2⁩, והפונקציה עולה משני הצדדים.
−4
1. ⁦f′(x) = 3x² − 6x = 3x(x − 2)⁩, ולכן נקודות חשודות ב־⁦x = 0⁩ וב־⁦x = 2⁩.
2. משמאל ל־0 הנגזרת חיובית, בין 0 ל־2 שלילית ומימין ל־2 חיובית.
3. ב־⁦x = 0⁩ מקסימום מקומי ⁦(f(0) = 0)⁩, וב־⁦x = 2⁩ מינימום מקומי.
4. ⁦f(2) = 8 − 12 = −4⁩.
108
1. אם הקודקוד הימני העליון ⁦(x, 27 − x²)⁩, השטח ⁦S(x) = 2x(27 − x²) = 54x − 2x³⁩.
2. ⁦S′(x) = 54 − 6x² = 0⁩, ולכן ⁦x² = 9⁩ ו־⁦x = 3⁩ (בתחום ⁦x > 0)⁩.
3. הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית ב־⁦x = 3⁩, ולכן זה מקסימום.
4. ⁦S(3) = 6 · 18 = 108⁩.