פונקציות טריגונומטריות | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | פונקציות טריגונומטריות | תשפ״ז
שיעור וארבע דוגמאות פתורות בפונקציות טריגונומטריות לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.
השיעור
מעגל היחידה
לכל זווית α מתאימה נקודה על מעגל שרדיוסו 1: (cos α, sin α). כך מוגדרים sin ו־cos לכל זווית, ו־tan α = sin α ÷ cos α.
רביעים וסימנים
ברביע הראשון כל הפונקציות חיוביות. בשני רק sin חיובי. בשלישי רק tan חיובי. ברביעי רק cos חיובי. זוויות כמו 180° − α ו־180° + α מתקשרות לזווית הבסיסית α.
זהויות בסיסיות
sin²α + cos²α = 1, tan α = sin α ÷ cos α, sin(180° − α) = sin α, cos(−α) = cos α. בעזרתן מפשטים ביטויים ועוברים מפונקציה אחת לאחרת.
משוואות בסיסיות
פותרים קודם לזווית בסיסית חדה, ואז מוסיפים את הפתרון ברביע השני שבו לפונקציה אותו סימן. במשוואה ריבועית מציבים t = sin x או t = cos x.
דוגמאות פתורות
דוגמה 1 | ערך ברביע השלישי
חשבו את cos 225°.
225° = 180° + 45°: רביע שלישי, cos שלילי.
cos 225° = −cos 45° = −√2/2.
תשובה: −√2/2
דוגמה 2 | מ־sin ל־cos
sin α = −5/13, α ברביע הרביעי. מצאו cos α ו־tan α.
cos²α = 1 − 25/169 = 144/169.
ברביע הרביעי cos חיובי: 12/13.
tan α = (−5/13) ÷ (12/13) = −5/12.
תשובה: cos α = 12/13, tan α = −5/12
דוגמה 3 | משוואה בסיסית
פתרו 2sin x + √3 = 0 בתחום 0° עד 360°.
sin x = −√3/2. הזווית הבסיסית 60°.
sin שלילי ברביע השלישי והרביעי.
x = 240° או x = 300°.
תשובה: 240°, 300°
דוגמה 4 | משוואה ריבועית
פתרו 2cos²x − 3cos x + 1 = 0 בתחום 0° עד 360°.
t = cos x: (2t − 1)(t − 1) = 0.
cos x = 1/2: 60°, 300°.
cos x = 1: 0°, 360°.
תשובה: 0°, 60°, 300°, 360°