פונקציות טריגונומטריות | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות | גרסת הדפסה

שיעור וארבע דוגמאות פתורות בפונקציות טריגונומטריות לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.

השיעור

מעגל היחידה

לכל זווית α מתאימה נקודה על מעגל שרדיוסו 1: ⁦(cos α, sin α)⁩. כך מוגדרים ⁦sin⁩ ו־⁦cos⁩ לכל זווית, ו־⁦tan α = sin α ÷ cos α⁩.

רביעים וסימנים

ברביע הראשון כל הפונקציות חיוביות. בשני רק ⁦sin⁩ חיובי. בשלישי רק ⁦tan⁩ חיובי. ברביעי רק ⁦cos⁩ חיובי. זוויות כמו ⁦180° − α⁩ ו־⁦180° + α⁩ מתקשרות לזווית הבסיסית α.

זהויות בסיסיות

⁦sin²α + cos²α = 1, tan α = sin α ÷ cos α, sin(180° − α) = sin α, cos(−α) = cos α⁩. בעזרתן מפשטים ביטויים ועוברים מפונקציה אחת לאחרת.

משוואות בסיסיות

פותרים קודם לזווית בסיסית חדה, ואז מוסיפים את הפתרון ברביע השני שבו לפונקציה אותו סימן. במשוואה ריבועית מציבים ⁦t = sin x⁩ או ⁦t = cos x⁩.

דוגמאות פתורות

דוגמה 1 | ערך ברביע השלישי

חשבו את ⁦cos 225°⁩.

⁦225° = 180° + 45°⁩: רביע שלישי, ⁦cos⁩ שלילי.
⁦cos 225° = −cos 45° = −√2/2⁩.

תשובה: ⁦−√2/2⁩

דוגמה 2 | מ־sin ל־cos

⁦sin α = −5/13, α⁩ ברביע הרביעי. מצאו ⁦cos α⁩ ו־⁦tan α⁩.

⁦cos²α = 1 − 25/169 = 144/169⁩.
ברביע הרביעי ⁦cos⁩ חיובי: ⁦12/13⁩.
⁦tan α = (−5/13) ÷ (12/13) = −5/12⁩.

תשובה: ⁦cos α = 12/13, tan α = −5/12⁩

דוגמה 3 | משוואה בסיסית

פתרו ⁦2sin x + √3 = 0⁩ בתחום 0° עד 360°.

⁦sin x = −√3/2⁩. הזווית הבסיסית 60°.
⁦sin⁩ שלילי ברביע השלישי והרביעי.
⁦x = 240°⁩ או ⁦x = 300°⁩.

תשובה: 240°, 300°

דוגמה 4 | משוואה ריבועית

פתרו ⁦2cos²x − 3cos x + 1 = 0⁩ בתחום 0° עד 360°.

⁦t = cos x⁩: ⁦(2t − 1)(t − 1) = 0⁩.
⁦cos x = 1/2⁩: 60°, 300°.
⁦cos x = 1⁩: 0°, 360°.