קדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות | דף עבודה להדפסה | 16 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | קדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות | תשפ״ז
דף עבודה להדפסה בקדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות לכיתה י׳, 5 יחידות: 16 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.
לפני שמתחילים
לפני שמחשבים, כתבו את הפונקציה בצורת מכפלה או סמנו את השורשים. כמעט כל שאלה כאן נפתרת מטבלת סימנים או מהשוואה בין f(−x) ל־f(x).
תזכורת
- xⁿ עם n זוגי: זוגית. עם n אי־זוגי: אי־זוגית.
- זוגית: f(−x) = f(x), סימטריה לציר y.
- אי־זוגית: f(−x) = −f(x), סימטריה לראשית.
- דוגמה נגדית אחת מספיקה כדי לשלול זוגיות.
שאלות
שאלה 1
נתונה הפונקציה f(x) = x⁵. האם היא זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן?
(א) זוגית
(ב) לא זוגית ולא אי־זוגית
(ג) אי־זוגית
(ד) גם זוגית וגם אי־זוגית
..........................................................
..........................................................
שאלה 2
נתונה הפונקציה f(x) = x³. מהו f(−2)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 3
נתונה הפונקציה f(x) = (x − 2)(x + 1). באיזה תחום f(x) < 0?
(א) −1 < x < 2
(ב) x < −1 או x > 2
(ג) x > 2
(ד) x < −1
..........................................................
..........................................................
שאלה 4
נתונה הפונקציה f(x) = |x − 4|. מהו f(1)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 5
איך מתקבל הגרף של y = (x − 3)² מהגרף של y = x²?
(א) הזזה של 3 יחידות שמאלה
(ב) הזזה של 3 יחידות למעלה
(ג) הזזה של 3 יחידות למטה
(ד) הזזה של 3 יחידות ימינה
..........................................................
..........................................................
שאלה 6
נתונה הפונקציה f(x) = x³ + x. האם היא זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן?
(א) זוגית
(ב) אי־זוגית
(ג) לא זוגית ולא אי־זוגית
(ד) גם זוגית וגם אי־זוגית
..........................................................
..........................................................
שאלה 7
נתונה הפונקציה f(x) = x(x − 3)(x + 2). באיזה תחום f(x) > 0?
(א) x < −2 או 0 < x < 3
(ב) 0 < x < 3
(ג) x > 3
(ד) −2 < x < 0 או x > 3
..........................................................
..........................................................
שאלה 8
נתונה הפונקציה f(x) = (x − 1)²(x + 2). מה קורה לגרף בנקודה שבה x = 1?
(א) הגרף חוצה את ציר x
(ב) הגרף נוגע בציר x ואינו חוצה אותו
(ג) הגרף חותך את ציר y
(ד) לגרף אין נקודה משותפת עם ציר x
..........................................................
..........................................................
שאלה 9
נתונה הפונקציה f(x) = −2x³ + x. מה קורה ל־f(x) כאשר x חיובי וגדול מאוד?
(א) f(x) שלילית וגדלה מאוד בערכה המוחלט
(ב) f(x) חיובית וגדלה מאוד
(ג) f(x) מתקרבת ל־0
(ד) f(x) קבועה
..........................................................
..........................................................
שאלה 10
מהו הפתרון הגדול של המשוואה |2x − 6| = 4?
..........................................................
..........................................................
שאלה 11
f היא פונקציה אי־זוגית שמוגדרת ב־x = 0. מהו f(0)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 12
נתונות הפונקציות f(x) = x² − 4 ו־g(x) = x + 2. באיזה תחום הגרף של f נמצא על הגרף של g או מתחתיו?
(א) x ≤ −2 או x ≥ 3
(ב) −3 ≤ x ≤ 2
(ג) −2 ≤ x ≤ 3
(ד) x ≥ 3
..........................................................
..........................................................
שאלה 13
נתונה הפונקציה f(x) = (x + 1)(x − 2)². באיזה תחום f(x) < 0?
(א) x < −1
(ב) −1 < x < 2
(ג) x > 2
(ד) x < −1 או x > 2
..........................................................
..........................................................
שאלה 14
תלמיד פתר את x³ > 4x: חילק את שני האגפים ב־x וקיבל x² > 4. מה הבעיה בדרך שלו?
(א) אין בעיה, הדרך נכונה
(ב) צריך היה להוציא שורש משני האגפים
(ג) חילוק ב־x הופך את כיוון אי־השוויון כש־x שלילי, ואי אפשר לחלק ב־0
(ד) צריך היה לחלק ב־4
..........................................................
..........................................................
שאלה 15
נתונה הפונקציה f(x) = x², ו־g(x) = f(x − 1) + 2. מהו g(3)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 16
מה פתרון אי־השוויון |x − 1| < 3?
(א) x < −2 או x > 4
(ב) −2 < x < 4
(ג) −4 < x < 2
(ד) x < 4
..........................................................
..........................................................
פתרונות מלאים
הצגת פתרון מלא
שאלה 1: אי־זוגית
-
מחשבים f(−x) = (−x)⁵ = −x⁵.
-
קיבלנו f(−x) = −f(x) לכל x, ולכן הפונקציה אי־זוגית. הגרף סימטרי לראשית הצירים.
הצגת פתרון מלא
שאלה 2: −8
-
מציבים: (−2)³ = (−2) · (−2) · (−2).
-
מכפלה של שלושה גורמים שליליים היא שלילית: −8.
הצגת פתרון מלא
שאלה 3: −1 < x < 2
-
השורשים הם x = −1 ו־x = 2.
-
זו פרבולה עם מקדם x² חיובי, ולכן היא מתחת לציר x רק בין השורשים.
-
f(x) < 0 בתחום −1 < x < 2.
הצגת פתרון מלא
שאלה 4: 3
-
מציבים: |1 − 4| = |−3|.
-
הערך המוחלט של −3 הוא 3.
הצגת פתרון מלא
שאלה 5: הזזה של 3 יחידות ימינה
-
בגרף החדש הקודקוד נמצא היכן ש־x − 3 = 0, כלומר ב־x = 3.
-
הקודקוד עבר מ־(0, 0) ל־(3, 0): הזזה של 3 יחידות ימינה. הסימן מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה.
הצגת פתרון מלא
שאלה 6: אי־זוגית
-
f(−x) = (−x)³ + (−x) = −x³ − x.
-
זה בדיוק −(x³ + x) = −f(x), ולכן הפונקציה אי־זוגית.
הצגת פתרון מלא
שאלה 7: −2 < x < 0 או x > 3
-
השורשים: x = −2, x = 0, x = 3. כל שורש פשוט, ולכן הסימן מתחלף בכל אחד מהם.
-
עבור x > 3 שלושת הגורמים חיוביים, ולכן f חיובית שם.
-
הולכים שמאלה ומחליפים סימן בכל שורש: שלילית בין 0 ל־3, חיובית בין −2 ל־0, שלילית משמאל ל־−2.
הצגת פתרון מלא
שאלה 8: הגרף נוגע בציר x ואינו חוצה אותו
-
הגורם (x − 1)² אינו שלילי, ולכן הוא לא משנה סימן סביב x = 1.
-
משני צדי x = 1 הסימן של f הוא הסימן של x + 2, חיובי.
-
לכן הגרף נוגע בציר x ב־x = 1 וחוזר למעלה.
הצגת פתרון מלא
שאלה 9: f(x) שלילית וגדלה מאוד בערכה המוחלט
-
עבור x גדול מאוד, האיבר בעל החזקה הגבוהה, −2x³, קובע את ההתנהגות.
-
−2x³ שלילי וגדל מאוד בערכו המוחלט, ו־x לא יכול לאזן אותו.
הצגת פתרון מלא
שאלה 10: 5
-
ערך מוחלט שווה 4 כשהביטוי שבתוכו הוא 4 או −4.
-
2x − 6 = 4 נותן x = 5, ו־2x − 6 = −4 נותן x = 1.
-
הפתרון הגדול 5.
הצגת פתרון מלא
שאלה 11: 0
-
מהגדרת אי־זוגיות: f(−0) = −f(0), כלומר f(0) = −f(0).
-
מספר ששווה לנגדי שלו הוא 0.
הצגת פתרון מלא
שאלה 12: −2 ≤ x ≤ 3
-
מחפשים f(x) ≤ g(x): x² − 4 ≤ x + 2, כלומר x² − x − 6 ≤ 0.
-
x² − x − 6 = (x − 3)(x + 2), והשורשים −2 ו־3 הם נקודות החיתוך של הגרפים.
-
פרבולה עם מקדם x² חיובי היא אי־חיובית בין השורשים, כולל אותם.
הצגת פתרון מלא
שאלה 13: x < −1
-
השורשים: x = −1 פשוט ו־x = 2 כפול.
-
(x − 2)² אינו שלילי, ולכן הסימן של f הוא הסימן של x + 1, חוץ מ־x = 2 שבו f מתאפסת.
-
x + 1 < 0 כאשר x < −1.
הצגת פתרון מלא
שאלה 14: חילוק ב־x הופך את כיוון אי־השוויון כש־x שלילי, ואי אפשר לחלק ב־0
-
כשמחלקים אי־שוויון במספר שלילי, הכיוון מתהפך. x יכול להיות שלילי.
-
הדרך הנכונה: x³ − 4x > 0, כלומר x(x − 2)(x + 2) > 0.
-
מטבלת סימנים: −2 < x < 0 או x > 2.
הצגת פתרון מלא
שאלה 15: 6
-
g(3) = f(3 − 1) + 2 = f(2) + 2.
-
f(2) = 4, ולכן g(3) = 6. הגרף של g הוא הגרף של f שהוזז ימינה ב־1 ולמעלה ב־2.
הצגת פתרון מלא
שאלה 16: −2 < x < 4
-
|x − 1| הוא המרחק של x מ־1 על ציר המספרים.
-
מרחק קטן מ־3 מ־1: בין 1 − 3 ל־1 + 3.
-
כלומר −2 < x < 4.