משיק למעגל: ניצב לרדיוס, משיקים שווים וזווית בין משיק למיתר | דף עבודה להדפסה | 10 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | משיק למעגל: ניצב לרדיוס, משיקים שווים וזווית בין משיק למיתר | תשפ״ז
דף עבודה להדפסה במשיק למעגל: ניצב לרדיוס, משיקים שווים וזווית בין משיק למיתר לכיתה י׳, 5 יחידות: 10 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.
לפני שמתחילים
בכל משיק סמנו מיד זווית ישרה בין המשיק לרדיוס בנקודת ההשקה. משני משיקים מאותה נקודה מתקבל משולש שווה שוקיים.
תזכורת
- משיק ⟂ רדיוס בנקודת ההשקה, וההפוך.
- שני משיקים מאותה נקודה שווים.
- זווית בין משיק למיתר = היקפית על אותה קשת.
שאלות
שאלה 1
PA משיק למעגל בנקודה A, רדיוס המעגל OA = 5 ו־PA = 12. מה אורך OP?
..........................................................
..........................................................
שאלה 2
PA משיק בנקודה A ו־∠AOP = 60°. מה גודל הזווית APO (במעלות)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 3
PA ו־PB משיקים למעגל שמרכזו O, ו־∠APB = 50°. מה גודל הזווית AOB (במעלות)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 4
הזווית בין המשיק בנקודה A לבין המיתר AB היא 35°. מה גודל הזווית המרכזית AOB הנשענת על הקשת שבתוך הזווית (במעלות)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 5
PA ו־PB משיקים למעגל, ו־∠APB = 40°. מה גודל הזווית PAB (במעלות)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 6
המרחק מהנקודה P למרכז המעגל הוא 10, ורדיוס המעגל 6. מה אורך המשיק מ־P למעגל?
..........................................................
..........................................................
שאלה 7
PA ו־PB משיקים למעגל שמרכזו O, ו־∠AOB = 140°. מה גודל הזווית PAB (במעלות)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 8
PA ו־PB משיקים למעגל שמרכזו O. מהו הנימוק לכך ש־PA = PB?
(א) AB קוטר במעגל
(ב) זווית היקפית שווה למחצית המרכזית
(ג) PA ו־PB מקבילים
(ד) המשולשים OAP ו־OBP חופפים לפי יתר וניצב
..........................................................
..........................................................
שאלה 9
PA משיק בנקודה A, OA = 8 ו־PA = 15. מה אורך OP?
..........................................................
..........................................................
שאלה 10
ישר משיק בנקודה A למעגל שמרכזו O, AB מיתר ו־∠OAB = 28°. מה גודל הזווית בין המשיק למיתר AB, בצד שבו נמצא B ביחס לקוטר דרך A (במעלות)?
..........................................................
..........................................................
פתרונות מלאים
הצגת פתרון מלא
שאלה 1: 13
-
OA ניצב למשיק, ולכן המשולש OAP ישר זווית ב־A.
-
OP² = 25 + 144 = 169, ולכן OP = 13.
הצגת פתרון מלא
שאלה 2: 30
-
∠OAP = 90 כי המשיק ניצב לרדיוס.
-
∠APO = 180 − 90 − 60 = 30.
הצגת פתרון מלא
שאלה 3: 130
-
∠OAP = ∠OBP = 90 (משיק ניצב לרדיוס).
-
סכום הזוויות במרובע OAPB הוא 360, ולכן ∠AOB = 360 − 90 − 90 − 50 = 130.
הצגת פתרון מלא
שאלה 4: 70
-
הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית היקפית על אותה קשת, 35.
-
הזווית המרכזית על הקשת הזאת: 2 · 35 = 70.
הצגת פתרון מלא
שאלה 5: 70
-
PA = PB משיקים מאותה נקודה, ולכן המשולש PAB שווה שוקיים.
-
∠PAB = (180 − 40) : 2 = 70.
הצגת פתרון מלא
שאלה 6: 8
-
המשיק ניצב לרדיוס, ולכן OP הוא יתר במשולש ישר זווית.
-
PA² = 100 − 36 = 64, ולכן PA = 8.
הצגת פתרון מלא
שאלה 7: 70
-
במרובע OAPB: ∠APB = 360 − 90 − 90 − 140 = 40.
-
PA = PB, ולכן ∠PAB = (180 − 40) : 2 = 70.
הצגת פתרון מלא
שאלה 8: המשולשים OAP ו־OBP חופפים לפי יתר וניצב
-
∠OAP = ∠OBP = 90 כי משיק ניצב לרדיוס.
-
OA = OB רדיוסים ו־OP יתר משותף, ולכן המשולשים חופפים (יתר וניצב) ו־PA = PB.
הצגת פתרון מלא
שאלה 9: 17
-
∠OAP = 90 (משיק ניצב לרדיוס).
-
OP² = 64 + 225 = 289, ולכן OP = 17.
הצגת פתרון מלא
שאלה 10: 62
-
הזווית בין המשיק לרדיוס OA היא 90.
-
הזווית בין המשיק למיתר: 90 − 28 = 62.