מעגל קנוני | שיעור וארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 5 יחידות | גרסת הדפסה

שיעור וארבע דוגמאות פתורות במעגל קנוני לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.

השיעור

המשוואה

מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו R: ⁦x² + y² = R²⁩. נקודה ⁦(x, y)⁩ על המעגל אם ⁦x² + y² = R²⁩, בתוכו אם ⁦x² + y² < R²⁩, ומחוצה לו אם ⁦x² + y² > R²⁩.

מעגל וישר

מציבים את משוואת הישר במשוואת המעגל ומקבלים משוואה ריבועית. שני פתרונות: הישר חותך. פתרון אחד (דיסקרימיננטה 0): הישר משיק. אין פתרון: הישר מחוץ למעגל.

משיק בנקודה

המשיק מאונך לרדיוס שבנקודת ההשקה, ולכן מכפלת השיפועים ⁦−1⁩. במעגל קנוני המשיק בנקודה ⁦(x₀, y₀)⁩ הוא ⁦x₀x + y₀y = R²⁩.

מיתרים

קצות המיתר הם פתרונות מערכת המעגל והישר. אורך המיתר: מרחק בין שתי הנקודות. מיתר אופקי ⁦y = k⁩: אורך ⁦2√(R² − k²)⁩.

דוגמאות פתורות

דוגמה 1 | מיקום

היכן נמצאת ⁦(4, −5)⁩ ביחס ל־⁦x² + y² = 40⁩?

⁦16 + 25 = 41⁩.
⁦41 > 40⁩: מחוץ למעגל.

תשובה: מחוץ למעגל

דוגמה 2 | חיתוך

מצאו את החיתוך של ⁦y = x − 1⁩ עם ⁦x² + y² = 13⁩.

⁦x² + (x − 1)² = 13⁩, ולכן ⁦2x² − 2x − 12 = 0⁩.
⁦x² − x − 6 = 0⁩: ⁦x = 3⁩ או ⁦x = −2⁩.
הנקודות ⁦(3, 2)⁩ ו־⁦(−2, −3)⁩.

תשובה: ⁦(3, 2), (−2, −3)⁩

דוגמה 3 | משיק

מצאו את המשיק ל־⁦x² + y² = 13⁩ בנקודה ⁦(2, 3)⁩.

⁦x₀x + y₀y = R²⁩: ⁦2x + 3y = 13⁩.
בדיקה: שיפוע הרדיוס ⁦3/2⁩, שיפוע המשיק ⁦−2/3⁩, ומכפלתם ⁦−1⁩.

תשובה: ⁦2x + 3y = 13⁩

דוגמה 4 | ישר משיק

לאיזה c חיובי ⁦y = −x + c⁩ משיק ל־⁦x² + y² = 2⁩?

⁦x² + (c − x)² = 2⁩, ולכן ⁦2x² − 2cx + c² − 2 = 0⁩.
דיסקרימיננטה 0: ⁦4c² − 8(c² − 2) = 0⁩.
⁦16 − 4c² = 0, c = 2⁩.