פונקציות שורש | דף עבודה להדפסה | 12 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | פונקציות שורש | תשפ״ז
דף עבודה להדפסה בפונקציות שורש לכיתה י׳, 5 יחידות (תשפ״ז): הסברים ברורים, תרגול מדורג, שאלות בסגנון בגרות ופתרונות מלאים.
לפני שמתחילים
סדר עבודה: תחום → נגזרת → נקודות חשודות בתוך התחום → בדיקת סימן ובדיקת קצוות.
תזכורת
- √u: u ≥ 0; במכנה u > 0.
- סכום שורשים: חיתוך תנאים.
- אחרי העלאה בריבוע: בדיקה בכל פתרון.
- (√u)′ = u′ ÷ (2√u).
שאלות
שאלה 1
מהו תחום ההגדרה של f(x) = √(5 − x) + √(x + 1)?
אפשרויות: −1 ≤ x ≤ 5 | x ≥ −1 | x ≤ 5 | x ≤ −1 או x ≥ 5
..........................................................
..........................................................
שאלה 2
מהו תחום ההגדרה של f(x) = 1/√(x − 2)?
אפשרויות: x > 2 | x ≥ 2 | x ≠ 2 | x < 2
..........................................................
..........................................................
שאלה 3
פתרו: √(x + 6) = x.
..........................................................
..........................................................
שאלה 4
נתונה f(x) = √(x² + 9). מהו f′(4)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 5
פתרו: √(x + 2) + x = 10.
..........................................................
..........................................................
שאלה 6
באיזה תחום עולה f(x) = √(6x − x²)?
אפשרויות: 0 < x < 3 | 3 < x < 6 | x > 3 | 0 < x < 6
..........................................................
..........................................................
שאלה 7
מהי משוואת המשיק לגרף y = √(2x + 1) בנקודה x = 4?
אפשרויות: y = x/3 + 5/3 | y = x/3 + 3 | y = 3x − 9 | y = x/6 + 7/3
..........................................................
..........................................................
שאלה 8
מהו תחום ההגדרה של f(x) = √((x − 1)(x − 5))?
אפשרויות: x ≤ 1 או x ≥ 5 | 1 ≤ x ≤ 5 | x ≥ 5 | x ≥ 1
..........................................................
..........................................................
שאלה 9
באיזה x מקבלת f(x) = x√(4 − x) את ערכה הגדול ביותר (בתחום 0 ≤ x ≤ 4)?
אפשרויות: 8/3 | 4 | 2 | 16/3
..........................................................
..........................................................
שאלה 10
פתרו: √(x + 3) − √x = 1.
..........................................................
..........................................................
שאלה 11
מהו שיעור ה־x של הנקודה על y = √x הקרובה ביותר לנקודה (2, 0)?
..........................................................
..........................................................
שאלה 12
מהו הערך הגדול ביותר של g(x) = √(x − 2) + √(6 − x)?
אפשרויות: 2√2 | 2 | 4 | √2
..........................................................
..........................................................
פתרונות מלאים
הצגת פתרון מלא
שאלה 1: −1 ≤ x ≤ 5
-
כל שורש דורש ביטוי לא שלילי: 5 − x ≥ 0 וגם x + 1 ≥ 0.
-
x ≤ 5 וגם x ≥ −1.
הצגת פתרון מלא
שאלה 2: x > 2
-
השורש דורש x − 2 ≥ 0.
-
הוא במכנה, ולכן גם ≠ 0: x − 2 > 0.
הצגת פתרון מלא
שאלה 3: 3
-
x + 6 = x², ולכן x² − x − 6 = 0: x = 3 או x = −2.
-
x = −2 נותן √4 = −2, סתירה. נשאר x = 3.
הצגת פתרון מלא
שאלה 4: 0.8
-
f′(x) = 2x ÷ (2√(x² + 9)) = x ÷ √(x² + 9).
-
f′(4) = 4 ÷ 5 = 0.8.
הצגת פתרון מלא
שאלה 5: 7
-
√(x + 2) = 10 − x. מעלים בריבוע: x + 2 = 100 − 20x + x², כלומר x² − 21x + 98 = 0.
-
x = 7 או x = 14.
-
בדיקה: x = 7 נותן 3 + 7 = 10. x = 14 נותן 4 + 14 = 18, נפסל.
הצגת פתרון מלא
שאלה 6: 0 < x < 3
-
תחום ההגדרה: 6x − x² ≥ 0, כלומר 0 ≤ x ≤ 6.
-
f′(x) = (6 − 2x) ÷ (2√(6x − x²)) חיובית כאשר x < 3.
-
עולה ב־0 < x < 3.
הצגת פתרון מלא
שאלה 7: y = x/3 + 5/3
-
נקודה: (4, 3).
-
y′ = 2 ÷ (2√(2x + 1)) = 1 ÷ √(2x + 1), ולכן y′(4) = 1/3.
-
y − 3 = (x − 4) ÷ 3, כלומר y = x/3 + 5/3.
הצגת פתרון מלא
שאלה 8: x ≤ 1 או x ≥ 5
-
(x − 1)(x − 5) ≥ 0.
-
פרבולה פתוחה כלפי מעלה עם שורשים 1 ו־5: לא שלילית מחוץ לשורשים ובהם.
הצגת פתרון מלא
שאלה 9: 8/3
-
f′(x) = √(4 − x) − x ÷ (2√(4 − x)) = (8 − 3x) ÷ (2√(4 − x)).
-
f′ = 0 כאשר x = 8/3; משמאל חיובית ומימין שלילית.
-
בקצוות f(0) = f(4) = 0, ולכן המקסימום ב־x = 8/3.
הצגת פתרון מלא
שאלה 10: 1
-
√(x + 3) = 1 + √x. מעלים בריבוע: x + 3 = 1 + 2√x + x.
-
2√x = 2, ולכן x = 1.
-
בדיקה: √4 − √1 = 1.
הצגת פתרון מלא
שאלה 11: 1.5
-
d² = (x − 2)² + x.
-
גוזרים: 2(x − 2) + 1 = 0, ולכן x = 1.5.
-
הנגזרת עוברת משלילית לחיובית: מינימום.
הצגת פתרון מלא
שאלה 12: 2√2
-
תחום: 2 ≤ x ≤ 6.
-
g′(x) = 1 ÷ (2√(x − 2)) − 1 ÷ (2√(6 − x)) = 0 כאשר x − 2 = 6 − x, כלומר x = 4.
-
g(4) = √2 + √2 = 2√2, וזה גדול מהערכים בקצוות (2).