גאומטריה אנליטית | ארבע דוגמאות פתורות | כיתה י׳, 4 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה אנליטית | תשפ״ז
ארבע דוגמאות פתורות בגאומטריה אנליטית לכיתה י׳, 4 יחידות: נקודות, קטעים, שיפוע ומשוואת ישר, מקבילות ומאונכות ומשולשים ומרובעים, עם פתרונות מלאים.
מהנתונים אל הנימוק
דוגמה 1 | שתי נקודות, ישר וחיתוכי צירים
A(−2,5), B(4,−1). מצאו את משוואת AB ואת חיתוכיו עם הצירים.
השיפוע הוא (−1 − 5)/(4 − (−2)) = −6/6 = −1.
דרך A: y − 5 = −1(x + 2), ולכן y = −x + 3. בדיקה: ב־x = 4 מתקבל −1.
בציר y מציבים x = 0 ומקבלים (0,3). בציר x מציבים y = 0: 0 = −x + 3, ולכן (3,0). שתי נקודות החיתוך מספיקות גם לשרטוט ישר יורד.
תשובה: y = −x + 3; חיתוכים (0,3), (3,0).
דוגמה 2 | גובה ונקודת מפגש
A(0,0), B(6,3), C(1,5). מצאו את הגובה מ־C ל־AB ואת נקודת המפגש H שלו עם AB.
AB עובר בראשית ושיפועו 3/6 = 1/2, ולכן y = 0.5x.
שיפוע הגובה −2. דרך C: y − 5 = −2(x − 1), ולכן y = −2x + 7.
משווים: 0.5x = −2x + 7, לכן 2.5x = 7, x = 2.8 ו־y = 1.4.
בשתי המשוואות מתקבל y = 1.4. המכפלה 0.5·(−2) = −1 מאמתת מאונכות; H נמצא על קטע AB כי 0 < 2.8 < 6.
תשובה: גובה: y = −2x + 7; H(2.8,1.4).
דוגמה 3 | להוכיח מלבן ולחשב שטח
נתון A(0,0), B(4,2), C(3,4), D(−1,2), לפי הסדר. הוכיחו שזה מלבן וחשבו את השטח.
שיפוע AB = 1/2 ושיפוע CD = (2 − 4)/(−1 − 3) = 1/2. שיפוע BC = −2 ושיפוע AD = −2. שני זוגות הצלעות הנגדיות מקבילות, לכן זו מקבילית.
AB ו־BC מאונכים כי (1/2)·(−2) = −1. מקבילית בעלת זווית ישרה היא מלבן.
AB = √20 = 2√5, BC = √5. השטח הוא 2√5·√5 = 10. הצלעות הסמוכות שונות באורכן ולכן אין זה ריבוע.
תשובה: מלבן שאינו ריבוע; שטח 10 יחידות שטח.
דוגמה 4 | אמצעים ומשפט גאומטרי
A(−2,1), B(6,1), C(2,7). מצאו אמצעי AC ו־BC והראו שהקטע ביניהם מקביל ל־AB ואורכו מחצית AB.
אמצע AC הוא M(0,4); אמצע BC הוא N(4,4). ממוצעים כל שיעור בנפרד.
MN אופקי כי לשני קצותיו y = 4, ו־AB אופקי כי לשני קצותיו y = 1. אלה ישרים שונים ומקבילים.
MN = 4 ו־AB = 8, לכן MN = AB/2. זהו אימות בעזרת שיעורים של משפט קטע האמצעים במשולש.
תשובה: M(0,4), N(4,4); MN ∥ AB; MN = 4 = AB/2.