בוחן קצר

יחסים במשולשים דומים: היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים | בוחן מסכם | 10 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | יחסים במשולשים דומים: היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים | תשפ״ז

בוחן מסכם ביחסים במשולשים דומים: היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים לכיתה י׳, 5 יחידות: 10 שאלות, 100 נקודות, 25 דקות.

מטרות הלמידה

לזהות קטעים מתאימים בשני משולשים דומים לפי ההתאמה
לחשב היקפים, תיכונים, חוצי זוויות ורדיוסים בעזרת יחס הדמיון, בשני הכיוונים
לנמק בעזרת משולשי עזר דומים מדוע כל אורך מתאים מקיים את יחס הדמיון

הנחיות

10 שאלות. 10 נקודות לכל שאלה. סך הכול 100 נקודות. זמן: 25 דקות. ענו על כל השאלות, ובסוף לחצו על בדיקת התשובות.

תרגול

המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. נתון ⁦AB = 3⁩ ו־⁦DE = 6⁩. היקף ABC הוא 14. מה היקף DEF?
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. נתון ⁦BC = 12⁩ ו־⁦EF = 8⁩. התיכון מ־A לצלע BC הוא 9. מה אורך התיכון מ־D לצלע EF?
שני משולשים דומים ויחס הדמיון מהראשון לשני הוא 4. רדיוס המעגל החסום במשולש הראשון הוא 1.5. מה רדיוס המעגל החסום במשולש השני?
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. AL חוצה את זווית A ו־DP חוצה את זווית D. נתון ⁦AL = 6, DP = 10⁩ ו־⁦AB = 9⁩. מה אורך DE?
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. רדיוס המעגל החוסם את ABC הוא 4 ושל DEF הוא 10. היקף DEF הוא 35. מה היקף ABC?
המשולש ABC דומה למשולש KLM לפי ההתאמה A ל־L, B ל־M, C ל־K. נתון ⁦AB = 4⁩ ו־⁦LM = 6⁩. התיכון מ־C לצלע AB הוא 5. מה אורך התיכון מ־K לצלע LM?
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. יחס הדמיון מ־ABC ל־DEF הוא 2, ורדיוס המעגל החוסם את ABC הוא 3. תלמיד כתב שרדיוס המעגל החוסם את DEF הוא 12. מה התיקון?
1. הרדיוס הוא 1.5, כי מחלקים ב־k
2. הרדיוס הוא 12, אין טעות
3. הרדיוס הוא 6, כי יחס הרדיוסים הוא k ולא k בריבוע
4. הרדיוס הוא 5, כי מוסיפים k
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. רדיוס המעגל החסום ב־ABC הוא x וב־DEF הוא ⁦x + 2⁩. נתון ⁦BC = 12⁩ ו־⁦EF = 18⁩. מה ערכו של x?
המשולש ABC דומה למשולש DEF לפי ההתאמה A ל־D, B ל־E, C ל־F. היקף ABC הוא 18 והיקף DEF הוא 27. התיכון מ־D לצלע EF הוא 12. מה אורך התיכון מ־A לצלע BC?
למה בשני משולשים דומים גם התיכונים, חוצי הזוויות והרדיוסים המתאימים מקיימים את יחס הדמיון k?
1. כל קטע כזה הוא צלע במשולש עזר, ומשולשי העזר המתאימים דומים ביחס k
2. כי כל הקטעים האלה שווים זה לזה
3. כי הם תמיד חוצים את הצלע שמולם
4. כי יחס האורכים בדמיון הוא תמיד k בריבוע

תשובות לתרגול

28
1. ⁦⁦k = 6⁩ : ⁦3 = 2⁩⁩.
2. היקף ⁦DEF = 2 · 14 = 28⁩.
6
1. k = ⁦EF : ⁦⁦BC = 8⁩ : 12⁩⁩.
2. התיכון ב־DEF הוא ⁦⁦9 · 8⁩ : ⁦12 = 6⁩⁩.
6
1. יחס רדיוסי המעגלים החסומים שווה ל־k.
2. הרדיוס הוא ⁦4 · 1.5 = 6⁩.
15
1. k = ⁦DP : ⁦AL = 10⁩ : 6⁩.
2. ⁦DE = 9 · 10⁩ : ⁦6 = 15⁩.
14
1. ⁦⁦k = 10⁩ : ⁦4 = 2.5⁩⁩ (מ־ABC ל־DEF).
2. היקף ⁦⁦ABC = 35⁩ : ⁦2.5 = 14⁩⁩.
7.5
1. AB מתאימה ל־LM, ו־C מתאים ל־K, ולכן התיכונים מתאימים.
2. ⁦⁦k = 6⁩ : ⁦4 = 1.5⁩⁩, והתיכון הוא ⁦1.5 · 5 = 7.5⁩.
הרדיוס הוא 6, כי יחס הרדיוסים הוא k ולא k בריבוע
1. רדיוס הוא אורך, ולכן הוא מקיים את יחס הדמיון עצמו.
2. ⁦2 · 3 = 6⁩.
4
1. ⁦⁦k = 18⁩ : ⁦12 = 1.5⁩⁩, ולכן ⁦x + 2 = 1.5x⁩.
2. ⁦0.5x = 2⁩, ולכן ⁦x = 4⁩. בדיקה: ⁦6 : ⁦4 = 1.5⁩⁩.
8
1. ⁦⁦k = 27⁩ : ⁦18 = 1.5⁩⁩.
2. התיכון ב־ABC הוא ⁦12 : ⁦1.5 = 8⁩⁩.
כל קטע כזה הוא צלע במשולש עזר, ומשולשי העזר המתאימים דומים ביחס k
1. התיכון: ABM דומה ל־DEN. חוצה הזווית: ABL דומה ל־DEP. הרדיוסים: IBC דומה ל־JEF ו־OBC דומה ל־QEF.
2. בכל משולש עזר יש צלע מתאימה מהמשולש המקורי, ולכן יחס הדמיון שלו הוא k.