בוחן קצר

קדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות | מבחן נושא | 12 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | קדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות | תשפ״ז

מבחן נושא בקדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות לכיתה י׳, 5 יחידות: 12 שאלות על שלושת התחומים, 100 נקודות, 25 דקות.

מטרות הלמידה

לזהות פונקציה זוגית ואי־זוגית אלגברית וגרפית
לשרטט באופן איכותי פולינום מתוך שורשיו והסימן שלו
לפתור אי־שוויונים פולינומיים בטבלת סימנים ובהשוואת גרפים
לבצע הזזות של גרפים ולקרוא אותן מהנוסחה
לעבוד עם ערך מוחלט במשוואות, באי־שוויונים ובגרפים

הנחיות

12 שאלות. שאלות 1 עד 8: 8 נקודות לכל שאלה. שאלות 9 עד 12: 9 נקודות לכל שאלה. סך הכול 100 נקודות. זמן: 25 דקות. ענו על כל השאלות, ובסוף לחצו על בדיקת התשובות.

תרגול

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x⁶⁩. האם היא זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן?
1. אי־זוגית
2. זוגית
3. לא זוגית ולא אי־זוגית
4. גם זוגית וגם אי־זוגית
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x⁴⁩. מהו ⁦f(−2)⁩?
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x³ − x⁩. האם היא זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן?
1. זוגית
2. לא זוגית ולא אי־זוגית
3. גם זוגית וגם אי־זוגית
4. אי־זוגית
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = (x + 4)(x − 1)⁩. באיזה תחום ⁦f(x) < 0⁩?
1. ⁦x < −4⁩ או ⁦x > 1⁩
2. ⁦x > 1⁩
3. ⁦−4 < x < 1⁩
4. ⁦−1 < x < 4⁩
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = (x − 3)²(x + 1)⁩. מה קורה לגרף בנקודה שבה ⁦x = 3⁩?
1. הגרף נוגע בציר x ואינו חוצה אותו
2. הגרף חוצה את ציר x
3. לגרף אין נקודה משותפת עם ציר x
4. הגרף חותך את ציר y בנקודה זו
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x(x − 1)(x − 5)⁩. באיזה תחום ⁦f(x) ≥ 0⁩?
1. ⁦1 ≤ x ≤ 5⁩
2. ⁦x ≤ 0⁩ או ⁦1 ≤ x ≤ 5⁩
3. ⁦0 ≤ x ≤ 1⁩ או ⁦x ≥ 5⁩
4. ⁦x ≥ 5⁩
מהו הקודקוד של הפרבולה ⁦y = (x + 1)² − 3⁩?
1. ⁦(−1, −3)⁩
2. ⁦(1, −3)⁩
3. ⁦(−1, 3)⁩
4. ⁦(1, 3)⁩
מהו הפתרון החיובי של המשוואה ⁦|x + 2| = 5⁩?
מה פתרון אי־השוויון ⁦|x| ≥ 2⁩?
1. ⁦−2 ≤ x ≤ 2⁩
2. ⁦x ≤ −2⁩ או ⁦x ≥ 2⁩
3. ⁦x ≥ 2⁩
4. ⁦x ≤ −2⁩
f היא פונקציה אי־זוגית, ונתון ⁦f(2) = −7⁩. מהו ⁦f(−2)⁩?
פתרו את אי־השוויון ⁦x³ − 9x < 0⁩.
1. ⁦−3 < x < 0⁩ או ⁦x > 3⁩
2. ⁦−3 < x < 3⁩
3. ⁦x < 0⁩
4. ⁦x < −3⁩ או ⁦0 < x < 3⁩
נתונה הפונקציה ⁦g(x) = |x| − 2⁩. מה נכון לגבי g?
1. g זוגית, וחותכת את ציר x ב־⁦x = 2⁩ וב־⁦x = −2⁩
2. g אי־זוגית, וחותכת את ציר x ב־⁦x = 2⁩ בלבד
3. g זוגית, ואין לה נקודות חיתוך עם ציר x
4. g לא זוגית ולא אי־זוגית

תשובות לתרגול

זוגית
1. ⁦f(−x) = (−x)⁶ = x⁶ = f(x)⁩.
2. לכן הפונקציה זוגית.
16
1. ⁦(−2)⁴ = 16⁩: מכפלה של ארבעה גורמים שליליים חיובית.
2. ⁦f(−2) = 16⁩.
אי־זוגית
1. ⁦f(−x) = −x³ + x = −(x³ − x) = −f(x)⁩.
2. לכן הפונקציה אי־זוגית.
⁦−4 < x < 1⁩
1. השורשים ⁦−4⁩ ו־1.
2. פרבולה עם מקדם ⁦x²⁩ חיובי שלילית בין השורשים.
הגרף נוגע בציר x ואינו חוצה אותו
1. ⁦(x − 3)²⁩ אינו משנה סימן סביב ⁦x = 3⁩.
2. משני הצדדים f חיובית, ולכן הגרף נוגע בציר ולא חוצה אותו.
⁦0 ≤ x ≤ 1⁩ או ⁦x ≥ 5⁩
1. השורשים 0, 1 ו־5, כולם פשוטים.
2. מימין ל־5 חיובית, בין 1 ל־5 שלילית, בין 0 ל־1 חיובית, משמאל ל־0 שלילית.
3. ≥ 0 כולל גם את השורשים.
⁦(−1, −3)⁩
1. הגרף של ⁦y = x²⁩ הוזז שמאלה ב־1 ולמטה ב־3.
2. הקודקוד עובר מ־⁦(0, 0)⁩ ל־⁦(−1, −3)⁩.
3
1. ⁦x + 2 = 5⁩ או ⁦x + 2 = −5⁩.
2. הפתרונות 3 ו־⁦−7⁩, והחיובי 3.
⁦x ≤ −2⁩ או ⁦x ≥ 2⁩
1. |x| הוא המרחק של x מ־0.
2. מרחק של 2 לפחות: מ־2 והלאה, או מ־⁦−2⁩ והלאה שמאלה.
7
1. פונקציה אי־זוגית מקיימת ⁦f(−x) = −f(x)⁩.
2. ⁦f(−2) = −(−7) = 7⁩.
⁦x < −3⁩ או ⁦0 < x < 3⁩
1. מפרקים: ⁦x³ − 9x = x(x² − 9) = x(x − 3)(x + 3)⁩.
2. השורשים ⁦−3, 0⁩ ו־3, כולם פשוטים. מימין ל־3 הביטוי חיובי.
3. מחליפים סימן בכל שורש: שלילי בין 0 ל־3, חיובי בין ⁦−3⁩ ל־0, שלילי משמאל ל־⁦−3⁩.
g זוגית, וחותכת את ציר x ב־⁦x = 2⁩ וב־⁦x = −2⁩
1. ⁦g(−x) = |−x| − 2 = |x| − 2 = g(x)⁩, ולכן g זוגית.
2. ⁦g(x) = 0⁩ כאשר המרחק של x מ־0 הוא 2, כלומר ⁦x = 2⁩ או ⁦x = −2⁩.
3. הגרף הוא צורת V של הערך המוחלט, מוזזת 2 יחידות למטה.