דף תרגול

קדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות | תרגול רמה 2 | ביסוס | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | קדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות | תשפ״ז

תרגול ביסוס בקדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות לכיתה י׳, 5 יחידות: 8 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

לזהות פונקציה זוגית ואי־זוגית אלגברית וגרפית
לשרטט באופן איכותי פולינום מתוך שורשיו והסימן שלו
לפתור אי־שוויונים פולינומיים בטבלת סימנים ובהשוואת גרפים
לבצע הזזות של גרפים ולקרוא אותן מהנוסחה
לעבוד עם ערך מוחלט במשוואות, באי־שוויונים ובגרפים

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

תארו את הגרף של ⁦f(x) = (x + 2)(x − 1)²⁩.

שורשים: ⁦x = −2⁩ פשוט, ⁦x = 1⁩ כפול.
עבור x גדול מאוד f(x) חיובית, כמו x³.
מימין ל־1 חיובית; ב־1 נוגעת בציר ונשארת חיובית; ב־⁦−2⁩ חוצה, ומשמאל לו שלילית.
חיתוך עם ציר y: ⁦f(0) = 2 · 1 = 2⁩.

תשובה: חוצה ב־⁦x = −2⁩, נוגעת ב־⁦x = 1⁩, חותכת את ציר y ב־2

תרגול

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x³ + x⁩. האם היא זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן?
1. זוגית
2. לא זוגית ולא אי־זוגית
3. אי־זוגית
4. גם זוגית וגם אי־זוגית
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x² + x⁩. האם היא זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן?
1. לא זוגית ולא אי־זוגית
2. זוגית
3. אי־זוגית
4. גם זוגית וגם אי־זוגית
לגרף של פונקציה זוגית יש סימטריה ביחס ל:
1. ציר x
2. ראשית הצירים
3. הישר ⁦y = x⁩
4. ציר y
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x(x − 3)(x + 2)⁩. באיזה תחום ⁦f(x) > 0⁩?
1. ⁦x < −2⁩ או ⁦0 < x < 3⁩
2. ⁦−2 < x < 0⁩ או ⁦x > 3⁩
3. ⁦0 < x < 3⁩
4. ⁦x > 3⁩
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = (x − 1)²(x + 2)⁩. מה קורה לגרף בנקודה שבה ⁦x = 1⁩?
1. הגרף חוצה את ציר x
2. הגרף חותך את ציר y
3. לגרף אין נקודה משותפת עם ציר x
4. הגרף נוגע בציר x ואינו חוצה אותו
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = −2x³ + x⁩. מה קורה ל־f(x) כאשר x חיובי וגדול מאוד?
1. f(x) חיובית וגדלה מאוד
2. f(x) שלילית וגדלה מאוד בערכה המוחלט
3. f(x) מתקרבת ל־0
4. f(x) קבועה
את הגרף של ⁦y = |x|⁩ הזיזו 2 יחידות שמאלה ויחידה אחת למטה. מהי הפונקציה החדשה?
1. ⁦y = |x + 2| − 1⁩
2. ⁦y = |x − 2| − 1⁩
3. ⁦y = |x + 2| + 1⁩
4. ⁦y = |x − 1| + 2⁩
מהו הפתרון הגדול של המשוואה ⁦|2x − 6| = 4⁩?

תשובות לתרגול

אי־זוגית
1. ⁦f(−x) = (−x)³ + (−x) = −x³ − x⁩.
2. זה בדיוק ⁦−(x³ + x) = −f(x)⁩, ולכן הפונקציה אי־זוגית.
לא זוגית ולא אי־זוגית
1. ⁦f(−x) = x² − x⁩.
2. למשל ⁦f(1) = 2⁩ ו־⁦f(−1) = 0⁩: לא שווים ולא נגדיים.
3. לכן הפונקציה לא זוגית ולא אי־זוגית.
ציר y
1. פונקציה זוגית מקיימת ⁦f(−x) = f(x)⁩.
2. הנקודות ⁦(x, y)⁩ ו־⁦(−x, y)⁩ שתיהן על הגרף, וזו שיקוף בציר y.
⁦−2 < x < 0⁩ או ⁦x > 3⁩
1. השורשים: ⁦x = −2, x = 0, x = 3⁩. כל שורש פשוט, ולכן הסימן מתחלף בכל אחד מהם.
2. עבור ⁦x > 3⁩ שלושת הגורמים חיוביים, ולכן f חיובית שם.
3. הולכים שמאלה ומחליפים סימן בכל שורש: שלילית בין 0 ל־3, חיובית בין ⁦−2⁩ ל־0, שלילית משמאל ל־⁦−2⁩.
הגרף נוגע בציר x ואינו חוצה אותו
1. הגורם ⁦(x − 1)²⁩ אינו שלילי, ולכן הוא לא משנה סימן סביב ⁦x = 1⁩.
2. משני צדי ⁦x = 1⁩ הסימן של f הוא הסימן של ⁦x + 2⁩, חיובי.
3. לכן הגרף נוגע בציר x ב־⁦x = 1⁩ וחוזר למעלה.
f(x) שלילית וגדלה מאוד בערכה המוחלט
1. עבור x גדול מאוד, האיבר בעל החזקה הגבוהה, ⁦−2x³⁩, קובע את ההתנהגות.
2. ⁦−2x³⁩ שלילי וגדל מאוד בערכו המוחלט, ו־x לא יכול לאזן אותו.
⁦y = |x + 2| − 1⁩
1. הזזה שמאלה ב־2: מחליפים x ב־⁦x + 2⁩, ומקבלים ⁦|x + 2|⁩.
2. הזזה למטה ב־1: מחסירים 1 מכל הפונקציה.
3. הקודקוד עבר מ־⁦(0, 0)⁩ ל־⁦(−2, −1)⁩.
5
1. ערך מוחלט שווה 4 כשהביטוי שבתוכו הוא 4 או ⁦−4⁩.
2. ⁦2x − 6 = 4⁩ נותן ⁦x = 5⁩, ו־⁦2x − 6 = −4⁩ נותן ⁦x = 1⁩.
3. הפתרון הגדול 5.