דף תרגול

קדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות | תרגול רמה 1 | בסיס | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | קדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות | תשפ״ז

תרגול בסיס בקדם־אנליזה: חזקות, פולינום איכותי והזזות לכיתה י׳, 5 יחידות: 8 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

לזהות פונקציה זוגית ואי־זוגית אלגברית וגרפית
לשרטט באופן איכותי פולינום מתוך שורשיו והסימן שלו
לפתור אי־שוויונים פולינומיים בטבלת סימנים ובהשוואת גרפים
לבצע הזזות של גרפים ולקרוא אותן מהנוסחה
לעבוד עם ערך מוחלט במשוואות, באי־שוויונים ובגרפים

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

קבעו אם ⁦f(x) = x⁴ − 3x²⁩ זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן, ואם ⁦g(x) = x³ + 2⁩ כזו.

⁦f(−x) = (−x)⁴ − 3(−x)² = x⁴ − 3x² = f(x)⁩, ולכן f זוגית.
⁦g(1) = 3⁩ ו־⁦g(−1) = 1⁩. אלה לא שווים, ולכן g לא זוגית.
⁦⁦−g(1) = −3⁩ ≠ ⁦1 = g(−1)⁩⁩, ולכן g גם לא אי־זוגית.

תשובה: f זוגית; g לא זוגית ולא אי־זוגית

תרגול

נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x⁴⁩. האם היא זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן?
1. אי־זוגית
2. לא זוגית ולא אי־זוגית
3. גם זוגית וגם אי־זוגית
4. זוגית
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x⁵⁩. האם היא זוגית, אי־זוגית או אף אחת מהן?
1. זוגית
2. אי־זוגית
3. לא זוגית ולא אי־זוגית
4. גם זוגית וגם אי־זוגית
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = x³⁩. מהו ⁦f(−2)⁩?
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = (x − 1)(x + 3)⁩. באיזה ערך חיובי של x הגרף חותך את ציר x?
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = (x − 2)(x + 1)⁩. באיזה תחום ⁦f(x) < 0⁩?
1. ⁦−1 < x < 2⁩
2. ⁦x < −1⁩ או ⁦x > 2⁩
3. ⁦x > 2⁩
4. ⁦x < −1⁩
הגרף של ⁦g(x) = f(x) + 3⁩ התקבל מהגרף של f. נתון ⁦f(1) = 4⁩. מהו g(1)?
נתונה הפונקציה ⁦f(x) = |x − 4|⁩. מהו f(1)?
איך מתקבל הגרף של ⁦y = (x − 3)²⁩ מהגרף של ⁦y = x²⁩?
1. הזזה של 3 יחידות שמאלה
2. הזזה של 3 יחידות למעלה
3. הזזה של 3 יחידות ימינה
4. הזזה של 3 יחידות למטה

תשובות לתרגול

זוגית
1. מחשבים ⁦f(−x) = (−x)⁴ = x⁴⁩.
2. קיבלנו ⁦f(−x) = f(x)⁩ לכל x, ולכן הפונקציה זוגית. הגרף סימטרי לציר y.
אי־זוגית
1. מחשבים ⁦f(−x) = (−x)⁵ = −x⁵⁩.
2. קיבלנו ⁦f(−x) = −f(x)⁩ לכל x, ולכן הפונקציה אי־זוגית. הגרף סימטרי לראשית הצירים.
−8
1. מציבים: ⁦(−2)³ = (−2) · (−2) · (−2)⁩.
2. מכפלה של שלושה גורמים שליליים היא שלילית: ⁦−8⁩.
1
1. הגרף חותך את ציר x כאשר ⁦f(x) = 0⁩, כלומר כאשר אחד הגורמים מתאפס.
2. ⁦x − 1 = 0⁩ נותן ⁦x = 1⁩, ו־⁦x + 3 = 0⁩ נותן ⁦x = −3⁩. הערך החיובי הוא 1.
⁦−1 < x < 2⁩
1. השורשים הם ⁦x = −1⁩ ו־⁦x = 2⁩.
2. זו פרבולה עם מקדם ⁦x²⁩ חיובי, ולכן היא מתחת לציר x רק בין השורשים.
3. ⁦f(x) < 0⁩ בתחום ⁦−1 < x < 2⁩.
7
1. הוספת 3 לפונקציה מזיזה את הגרף 3 יחידות למעלה.
2. ⁦g(1) = f(1) + 3 = 4 + 3 = 7⁩.
3
1. מציבים: ⁦|1 − 4| = |−3|⁩.
2. הערך המוחלט של ⁦−3⁩ הוא 3.
הזזה של 3 יחידות ימינה
1. בגרף החדש הקודקוד נמצא היכן ש־⁦x − 3 = 0⁩, כלומר ב־⁦x = 3⁩.
2. הקודקוד עבר מ־⁦(0, 0)⁩ ל־⁦(3, 0)⁩: הזזה של 3 יחידות ימינה. הסימן מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה.