בוחן קצר

גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | מבחן נושא | 12 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | תשפ״ז

מבחן נושא בגאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון לכיתה י׳, 5 יחידות: 12 שאלות על ארבעת התחומים, 100 נקודות, 25 דקות.

מטרות הלמידה

להשתמש בקטע אמצעים במשולש ובטרפז ובמשפט ההפוך
להשתמש בתיכונים: מפגש התיכונים והתיכון ליתר
להפעיל את משפט תאלס, את ההפוך שלו ואת ההרחבה
להפעיל את משפט חוצה הזווית ואת המשפט ההפוך
להוכיח דמיון משולשים ולחשב צלעות לפי יחס הדמיון

הנחיות

12 שאלות. שאלות 1 עד 8: 8 נקודות לכל שאלה. שאלות 9 עד 12: 9 נקודות לכל שאלה. סך הכול 100 נקודות. זמן: 25 דקות. ענו על כל השאלות, ובסוף לחצו על בדיקת התשובות.

תרגול

במשולש ABC הקטע DE מחבר את אמצעי הצלעות AB ו־AC, ו־⁦DE = 9⁩. מה אורך BC?
במשולש ABC הקטע AD הוא תיכון, ו־G נקודת מפגש התיכונים. נתון ⁦GD = 5⁩. מה אורך AD?
במשולש ABC נתון DE ∥ BC, כאשר D על AB ו־E על AC. עוד נתון ⁦AD = 2, AB = 8⁩ ו־⁦AE = 3⁩. מה אורך AC?
במשולש ABC הנקודה D על AB והנקודה E על AC. נתון ⁦AD = 3, DB = 5, AE = 6⁩ ו־⁦EC = 9⁩. האם DE ∥ BC?
1. לא, כי היחסים AD:DB ו־AE:EC שונים
2. כן, כי ⁦AE = 2 · AD⁩
3. כן, כי D ו־E על הצלעות
4. אי אפשר לדעת
במשולש ABC נתון ⁦AB = 5, AC = 7⁩ ו־⁦BC = 6⁩. חוצה זווית A פוגש את BC בנקודה D. מה אורך BD?
במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, והנקודה D על BC. נתון ⁦BD = 3, DC = 5⁩ ו־⁦AB = 6⁩. מה אורך AC?
נתון △ABC ∼ △KLM, בסדר הקודקודים הזה. עוד נתון ⁦AB = 6, KL = 9⁩ ו־⁦AC = 8⁩. מה אורך KM?
במשולש אחד שתי צלעות באורכים 4 ו־6 והזווית ביניהן 50°. במשולש שני שתי צלעות באורכים 6 ו־9 והזווית ביניהן 50°. לפי איזה משפט המשולשים דומים?
1. ז.ז
2. צ.צ.צ
3. צ.ז.צ
4. הם אינם דומים
בטרפז הבסיסים שווים ל־7 ול־13. מה אורך קטע האמצעים?
במשולש ABC נתון DE ∥ BC, כאשר D על AB ו־E על AC. עוד נתון ⁦AD = 4, DB = 2⁩ ו־⁦DE = 8⁩. מה אורך BC?
בטרפז ABCD הבסיסים AB ∥ CD, ונתון ⁦AB = 16⁩ ו־⁦CD = 8⁩. האלכסונים נפגשים בנקודה O, ו־⁦AO = 10⁩. מה אורך OC?
במשולש ABC נתון ⁦AB = 9, AC = 6⁩ ו־⁦BC = 10⁩. חוצה זווית A פוגש את BC בנקודה D, ו־M היא אמצע BC. מה אורך DM?

תשובות לתרגול

18
1. קטע אמצעים שווה למחצית הצלע השלישית.
2. לכן ⁦BC = 9 · 2 = 18⁩.
15
1. AG:⁦GD = 2⁩:1, ולכן GD הוא שליש מהתיכון.
2. ⁦AD = 5 · 3 = 15⁩.
12
1. AD:⁦AB = AE⁩:AC.
2. 2:⁦8 = 3⁩:AC, ולכן ⁦⁦AC = 3 · 8⁩ : ⁦2 = 12⁩⁩.
לא, כי היחסים AD:DB ו־AE:EC שונים
1. AD:⁦DB = 3⁩:5.
2. AE:⁦EC = 6⁩:⁦9 = 2⁩:3.
3. היחסים שונים, ולכן לפי משפט תאלס DE אינו מקביל ל־BC.
2.5
1. BD:⁦DC = AB⁩:⁦AC = 5⁩:7.
2. BC מתחלק ל־12 חלקים, ו־BD לוקח 5 מהם.
3. ⁦⁦BD = 6 · 5⁩ : ⁦12 = 2.5⁩⁩.
10
1. BD:⁦DC = AB⁩:AC.
2. 3:⁦5 = 6⁩:AC, ולכן ⁦⁦AC = 6 · 5⁩ : ⁦3 = 10⁩⁩.
12
1. AB מתאימה ל־KL, ו־AC מתאימה ל־KM.
2. ⁦⁦KM = 8 · 9⁩ : ⁦6 = 12⁩⁩.
צ.ז.צ
1. 4:⁦6 = 6⁩:⁦9 = 2⁩:3, כלומר שתי הצלעות פרופורציוניות.
2. הזווית שבין הצלעות שווה בשני המשולשים.
3. לכן המשולשים דומים לפי צ.ז.צ.
10
1. קטע האמצעים בטרפז שווה לממוצע הבסיסים.
2. ⁦⁦(7 + 13)⁩ : ⁦2 = 10⁩⁩.
12
1. ⁦AB = 4 + 2 = 6⁩.
2. DE:⁦BC = AD⁩:⁦AB = 4⁩:6.
3. ⁦BC = 8 · 6⁩ : ⁦4 = 12⁩.
5
1. כיוון ש־AB ∥ CD, הזוויות OAB ו־OCD שוות כזוויות מתחלפות, וגם הזוויות הקודקודיות ב־O שוות.
2. לכן △AOB ∼ △COD לפי ז.ז, ביחס AB:⁦CD = 16⁩:⁦8 = 2⁩:1.
3. ⁦⁦OC = 10 · 8⁩ : ⁦16 = 5⁩⁩.
1
1. לפי משפט חוצה הזווית: BD:⁦DC = 9⁩:⁦6 = 3⁩:2, ולכן ⁦⁦BD = 10 · 9⁩ : ⁦15 = 6⁩⁩.
2. M היא אמצע BC, ולכן ⁦BM = 5⁩.
3. ⁦DM = BD − BM = 6 − 5 = 1⁩.