דף תרגול

גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | תרגול רמה 1 | בסיס | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | תשפ״ז

תרגול בסיס בגאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון לכיתה י׳, 5 יחידות: 9 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

להשתמש בקטע אמצעים במשולש ובטרפז ובמשפט ההפוך
להשתמש בתיכונים: מפגש התיכונים והתיכון ליתר
להפעיל את משפט תאלס, את ההפוך שלו ואת ההרחבה
להפעיל את משפט חוצה הזווית ואת המשפט ההפוך
להוכיח דמיון משולשים ולחשב צלעות לפי יחס הדמיון

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

במשולש ABC הנקודות D ו־E הן אמצעי AB ו־AC, ונתון ⁦BC = 16⁩. עוד נתון שהתיכון מ־A שווה ל־12. מצאו את DE ואת המרחק של נקודת מפגש התיכונים מ־A.

DE הוא קטע אמצעים, ולכן ⁦⁦DE = 16⁩ : ⁦2 = 8⁩⁩.
נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכון ביחס 2:1 מהקודקוד.
המרחק מ־A הוא ⁦⁦12 · 2⁩ : ⁦3 = 8⁩⁩.

תשובה: ⁦DE = 8⁩, והמרחק מ־A הוא 8

תרגול

במשולש ABC הנקודה D היא אמצע AB והנקודה E היא אמצע AC. נתון ⁦BC = 14⁩. מה אורך DE?
בטרפז ABCD הבסיסים הם ⁦AB = 10⁩ ו־⁦CD = 6⁩. מה אורך קטע האמצעים של הטרפז?
במשולש ABC התיכונים AD ו־BE נפגשים בנקודה G. נתון ⁦AD = 12⁩. מה אורך AG?
במשולש ABC הנקודה D על AB והנקודה E על AC, ונתון DE ∥ BC. עוד נתון ⁦AD = 3, DB = 6⁩ ו־⁦AE = 4⁩. מה אורך EC?
במשולש ABC הנקודה D על AB והנקודה E על AC, ונתון DE ∥ BC. עוד נתון ⁦AD = 4, AB = 10⁩ ו־⁦BC = 15⁩. מה אורך DE?
במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, והנקודה D על BC. נתון ⁦AB = 6, AC = 9⁩ ו־⁦BD = 4⁩. מה אורך DC?
במשולש ABC נתון ⁦AB = 8, AC = 12⁩ ו־⁦BC = 10⁩. חוצה זווית A פוגש את BC בנקודה D. מה אורך BD?
בשני משולשים יש שתי זוויות שוות בהתאמה. לפי איזה משפט הם דומים?
1. ז.ז
2. צ.צ.צ
3. צ.ז.צ
4. אין מספיק נתונים
נתון △ABC ∼ △DEF, בסדר הקודקודים הזה. עוד נתון ⁦AB = 4, DE = 12⁩ ו־⁦BC = 5⁩. מה אורך EF?

תשובות לתרגול

7
1. DE מחבר אמצעי שתי צלעות, ולכן הוא קטע אמצעים במשולש.
2. קטע אמצעים מקביל לצלע השלישית ושווה למחציתה.
3. לכן ⁦⁦DE = 14⁩ : ⁦2 = 7⁩⁩.
8
1. קטע האמצעים בטרפז מחבר את אמצעי השוקיים.
2. הוא מקביל לבסיסים ושווה לממוצע שלהם.
3. ⁦⁦(10 + 6)⁩ : ⁦2 = 8⁩⁩.
8
1. שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, והיא מחלקת כל תיכון ביחס 2:1 מהקודקוד.
2. לכן AG הוא שני שלישים מ־AD.
3. ⁦⁦12 · 2⁩ : ⁦3 = 8⁩⁩.
8
1. לפי משפט תאלס, ישר המקביל לצלע מחלק את שתי הצלעות האחרות באותו יחס: AD:⁦DB = AE⁩:EC.
2. 3:⁦6 = 4⁩:EC, ולכן ⁦⁦EC = 4 · 6⁩ : ⁦3 = 8⁩⁩.
6
1. לפי ההרחבה של משפט תאלס: AD:⁦AB = AE⁩:⁦AC = DE⁩:BC.
2. ⁦⁦DE = 15 · 4⁩ : ⁦10 = 6⁩⁩.
6
1. לפי משפט חוצה הזווית: BD:⁦DC = AB⁩:AC.
2. 4:⁦DC = 6⁩:9, ולכן ⁦⁦DC = 4 · 9⁩ : ⁦6 = 6⁩⁩.
4
1. לפי משפט חוצה הזווית: BD:⁦DC = AB⁩:⁦AC = 8⁩:⁦12 = 2⁩:3.
2. BC מחולק ל־5 חלקים שווים, ו־BD לוקח 2 מהם.
3. ⁦⁦BD = 10 · 8⁩ : ⁦20 = 4⁩⁩.
ז.ז
1. אם שתי זוויות שוות בהתאמה, גם הזווית השלישית שווה, כי סכום הזוויות במשולש הוא 180°.
2. זה משפט הדמיון זווית זווית, ז.ז.
15
1. סדר הקודקודים קובע את ההתאמה: AB מתאימה ל־DE, ו־BC מתאימה ל־EF.
2. יחס הדמיון הוא 12:⁦4 = 3⁩.
3. ⁦⁦EF = 5 · 12⁩ : ⁦4 = 15⁩⁩.