בוחן קצר

גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | חזרה משולבת | 8 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | גאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון | תשפ״ז

חזרה משולבת בגאומטריה במישור: אמצעים, תאלס, חוצה זווית ודמיון לכיתה י׳, 5 יחידות: 8 שאלות שכל אחת מחברת שני תחומים לפחות, 30 דקות.

מטרות הלמידה

להשתמש בקטע אמצעים במשולש ובטרפז ובמשפט ההפוך
להשתמש בתיכונים: מפגש התיכונים והתיכון ליתר
להפעיל את משפט תאלס, את ההפוך שלו ואת ההרחבה
להפעיל את משפט חוצה הזווית ואת המשפט ההפוך
להוכיח דמיון משולשים ולחשב צלעות לפי יחס הדמיון

הנחיות

8 שאלות. שאלות 1 עד 4: 12 נקודות לכל שאלה. שאלות 5 עד 8: 13 נקודות לכל שאלה. סך הכול 100 נקודות. זמן: 30 דקות. ענו על כל השאלות, ובסוף לחצו על בדיקת התשובות.

תרגול

במשולש ABC הנקודה D היא אמצע AB. דרך D עובר ישר המקביל ל־BC וחותך את AC בנקודה E. נתון ⁦AE = 7⁩. מה אורך AC?
במשולש ABC נתון DE ∥ BC, כאשר D על AB ו־E על AC. עוד נתון ⁦AD = 3, AB = 9⁩ ו־⁦BC = 12⁩. מה אורך DE?
במשולש ABC הקטע AD חוצה את זווית A, והנקודה D על BC. נתון ⁦BD = 4, DC = 6⁩ ו־⁦AB = 8⁩. דרך D עובר ישר המקביל ל־AB וחותך את AC בנקודה E. מה אורך CE?
במשולש ABC הקטע DE מחבר את אמצעי AB ו־AC. מה נכון לגבי המשולשים ADE ו־ABC?
1. הם חופפים
2. הם דומים, ויחס הצלעות DE:BC הוא 1:4
3. הם דומים, ויחס הצלעות DE:BC הוא 1:2
4. הם אינם דומים
במשולש ABC זווית C ישרה, והיתר ⁦AB = 18⁩. התיכון מ־C ליתר הוא CM, ו־G נקודת מפגש התיכונים. מה אורך CG?
בטרפז ABCD הבסיסים AB ∥ CD, ונתון ⁦AB = 12⁩ ו־⁦CD = 4⁩. האלכסון ⁦BD = 20⁩, והאלכסונים נפגשים בנקודה O. מה אורך OD?
תלמיד כתב: במשולש אחד צלעות 4 ו־6, ובמשולש שני צלעות 8 ו־12, ולכן המשולשים דומים. מה חסר בנימוק שלו?
1. שהזווית שבין שתי הצלעות תהיה שווה בשני המשולשים
2. שהמשולשים יהיו ישרי זווית
3. שהצלע השלישית תהיה שווה בשניהם
4. לא חסר דבר
במשולש ABC נתון ⁦AB = 12⁩ ו־⁦AC = 8⁩. הנקודה D על BC מקיימת ⁦BD = 6⁩ ו־⁦DC = 4⁩. מה אפשר להסיק?
1. AD תיכון, כי D אמצע BC
2. AD חוצה את זווית A, כי BD:⁦DC = AB⁩:AC
3. AD ∥ AB
4. אי אפשר להסיק דבר

תשובות לתרגול

14
1. ישר מאמצע צלע המקביל לצלע שנייה חוצה את הצלע השלישית, וזה גם המקרה AD:⁦DB = 1⁩:1 במשפט תאלס.
2. לכן E היא אמצע AC, ו־⁦AC = 7 · 2 = 14⁩.
4
1. DE ∥ BC, ולכן △ADE ∼ △ABC לפי ז.ז.
2. יחס הדמיון הוא AD:⁦AB = 3⁩:⁦9 = 1⁩:3.
3. ⁦⁦DE = 12 · 3⁩ : ⁦9 = 4⁩⁩.
7.2
1. לפי משפט חוצה הזווית: 4:⁦6 = 8⁩:AC, ולכן ⁦AC = 12⁩.
2. DE ∥ AB, ולכן לפי משפט תאלס במשולש ABC: CE:⁦CA = CD⁩:⁦CB = 6⁩:10.
3. ⁦⁦CE = 12 · 6⁩ : ⁦10 = 7.2⁩⁩.
הם דומים, ויחס הצלעות DE:BC הוא 1:2
1. זווית A משותפת, ו־DE ∥ BC נותן זוויות מתאימות שוות, ולכן ז.ז.
2. AD:⁦AB = 1⁩:2, ולכן כל צלע במשולש ADE היא מחצית הצלע המתאימה.
6
1. במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר: ⁦CM = 9⁩.
2. G מחלקת את CM ביחס 2:1 מהקודקוד C.
3. ⁦⁦CG = 9 · 2⁩ : ⁦3 = 6⁩⁩.
5
1. △AOB ∼ △COD לפי ז.ז, ביחס 12:⁦4 = 3⁩:1.
2. לכן OB:⁦OD = 3⁩:1, והאלכסון BD מתחלק ל־4 חלקים.
3. ⁦⁦OD = 20 · 4⁩ : ⁦16 = 5⁩⁩.
שהזווית שבין שתי הצלעות תהיה שווה בשני המשולשים
1. שתי צלעות פרופורציוניות לבדן אינן מספיקות.
2. משפט צ.ז.צ דורש גם שהזווית הכלואה בין הצלעות תהיה שווה.
AD חוצה את זווית A, כי BD:⁦DC = AB⁩:AC
1. BD:⁦DC = 6⁩:⁦4 = 3⁩:2.
2. AB:⁦AC = 12⁩:⁦8 = 3⁩:2.
3. היחסים שווים, ולכן לפי המשפט ההפוך של חוצה הזווית AD חוצה את זווית A.