דף תרגול

בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | תרגול רמה 3 | אתגר | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז

תרגול אתגר בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 5 יחידות: 7 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

לבנות ולפתור מודל קיצון פולינומי בארבעה הקשרים
להשוות נקודות קריטיות וקצוות בתחום סגור
לפרש נגזרת כקצב שינוי עם יחידות נכונות

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

⁦h(t) = −5t² + 20t + 1⁩ מטרים. מצאו את הגובה המרבי ואת זמן החזרה לגובה ההתחלה.

⁦h′(t) = −10t + 20 = 0⁩ נותן ⁦t = 2⁩, ו־⁦h(2) = 21⁩ מטרים.
חזרה לגובה 1: ⁦−5t² + 20t = 0⁩, כלומר ⁦t = 0⁩ או ⁦t = 4⁩.

תשובה: גובה מרבי 21 מטרים; חזרה אחרי 4 שניות

תרגול

⁦f(x) = x³ − 6x² + 1⁩ בתחום ⁦0 ≤ x ≤ 5⁩, ו־⁦f′(x) = 3x(x − 4)⁩. מהו הערך הגדול ביותר של f בתחום?
במפעל נתונות פונקציית הכנסה R(x) ופונקציית עלות C(x). כדי למצוא רווח מרבי יש לגזור:
1. את פונקציית הרווח ⁦P(x) = R(x) − C(x)⁩
2. את ההכנסה R(x) בלבד
3. את העלות C(x) בלבד
4. את הסכום ⁦R(x) + C(x)⁩
ההכנסה היא ⁦R(x) = 80x − 4x²⁩ שקלים, והעלות קבועה: 100 שקלים. מהו הרווח הגדול ביותר?
h(t) נתון במטרים ו־t בשניות. מהן היחידות של הנגזרת h′(t)?
1. מטר
2. שנייה
3. מטר בריבוע
4. מטר לשנייה
גובה של כדור הוא ⁦h(t) = −5t² + 20t + 1⁩ מטרים. אחרי כמה שניות הכדור חוזר לגובה ההתחלה ⁦(h = 1)⁩?
סכום כל מקצועות תיבה שבסיסה ריבוע שצלעו x הוא 72 ס״מ: ⁦8x + 4h = 72⁩. הנפח הוא ⁦V(x) = 18x² − 2x³⁩. מהו הנפח הגדול ביותר (בסמ״ק)?
בבעיית קופסה מיריעה ⁦24×24⁩ התקבלו הנקודות הקריטיות ⁦x = 4⁩ ו־⁦x = 12⁩. תלמידה בחרה ⁦x = 12⁩ כי "גדול יותר". מהי הטעות?
1. אין טעות; תמיד בוחרים את ה־x הגדול
2. היה צריך לבחור ⁦x = 0⁩
3. ⁦x = 12⁩ מחוץ לתחום ⁦0 < x < 12⁩ ונותן נפח 0; המקסימום ב־⁦x = 4⁩
4. שתי הנקודות נותנות אותו נפח

תשובות לתרגול

1
1. נקודות קריטיות: ⁦x = 0⁩ ו־⁦x = 4⁩.
2. ⁦f(0) = 1, f(4) = 64 − 96 + 1 = −31⁩, ובקצה ⁦f(5) = 125 − 150 + 1 = −24⁩.
3. הגדול מכולם הוא 1, בקצה ⁦x = 0⁩; בלי בדיקת קצוות מפספסים אותו.
את פונקציית הרווח ⁦P(x) = R(x) − C(x)⁩
1. רווח מוגדר כהכנסה פחות עלות.
2. גוזרים את הרווח, משווים ל־0 ובודקים את התחום.
300
1. ⁦P(x) = −4x² + 80x − 100⁩.
2. ⁦P′(x) = −8x + 80 = 0⁩ נותן ⁦x = 10⁩.
3. ⁦P(10) = −400 + 800 − 100 = 300⁩ שקלים.
מטר לשנייה
1. הנגזרת היא קצב שינוי של גובה ביחס לזמן.
2. לכן היחידות הן מטר חלקי שנייה, כלומר מהירות.
4
1. פותרים ⁦−5t² + 20t + 1 = 1⁩, כלומר ⁦−5t² + 20t = 0⁩.
2. ⁦5t(4 − t) = 0⁩ נותן ⁦t = 0⁩ (ההתחלה) ו־⁦t = 4⁩.
216
1. ⁦h = 18 − 2x⁩, והתחום ⁦0 < x < 9⁩.
2. ⁦V′(x) = 36x − 6x² = 6x(6 − x)⁩ נותן ⁦x = 6⁩, ואז ⁦h = 6⁩.
3. ⁦V(6) = 36 · 6 = 216⁩ סמ״ק.
⁦x = 12⁩ מחוץ לתחום ⁦0 < x < 12⁩ ונותן נפח 0; המקסימום ב־⁦x = 4⁩
1. צלע הבסיס היא ⁦24 − 2x⁩, ולכן ⁦x < 12⁩.
2. ב־⁦x = 12⁩ הבסיס 0 והנפח 0; ב־⁦x = 4⁩ הנפח 1024.