בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | תרגול רמה 1 | בסיס | כיתה י׳, 5 יחידות
מתמטיקה | כיתה י | בעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב | תשפ״ז
תרגול בסיס בבעיות קיצון בהקשר מספרי, כלכלי, פיזיקלי וגאומטריית המרחב לכיתה י׳, 5 יחידות: 5 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.
מטרות הלמידה
- לבנות ולפתור מודל קיצון פולינומי בארבעה הקשרים
- להשוות נקודות קריטיות וקצוות בתחום סגור
- לפרש נגזרת כקצב שינוי עם יחידות נכונות
לפני שמתחילים
דוגמה פתורה לפני שמתחילים
מצאו את הערך הגדול ביותר של x²(18 − x) בתחום 0 ≤ x ≤ 18.
f(x) = 18x² − x³, ו־f′(x) = 3x(12 − x).
קריטיות: x = 0 ו־x = 12; קצוות: 0 ו־18.
f(0) = 0, f(12) = 864, f(18) = 0.
תשובה: המקסימום הוא 864 ב־x = 12
תרגול
מהו הערך הגדול ביותר של הביטוי x²(18 − x) עבור 0 ≤ x ≤ 18?
סכום שני מספרים הוא 20. מהו הערך הקטן ביותר של סכום ריבועיהם?
ההכנסה ממכירת x יחידות היא R(x) = x(100 − 2x) שקלים. מהי ההכנסה הגדולה ביותר?
גובה של כדור נתון ב־h(t) = −5t² + 20t + 1 מטרים, כאשר t בשניות. מהו הגובה המרבי (במטרים)?
גובה של גוף הוא h(t) = −2t² + 12t מטרים, 0 ≤ t ≤ 6 שניות. באיזו שנייה הגובה מרבי?
תשובות לתרגול
- 864
-
f(x) = 18x² − x³, ולכן f′(x) = 36x − 3x² = 3x(12 − x).
-
נקודות קריטיות: x = 0 ו־x = 12, שתיהן בתחום הסגור.
-
f(0) = 0, f(12) = 144 · 6 = 864, f(18) = 0; המקסימום הוא 864.
-
- 200
-
S(x) = x² + (20 − x)² = 2x² − 40x + 400.
-
S′(x) = 4x − 40 = 0 נותן x = 10.
-
S(10) = 100 + 100 = 200.
-
- 1250
-
R(x) = 100x − 2x², ו־R′(x) = 100 − 4x = 0 נותן x = 25.
-
R(25) = 25 · 50 = 1250 שקלים.
-
- 21
-
h′(t) = −10t + 20 = 0 נותן t = 2 שניות.
-
h(2) = −20 + 40 + 1 = 21 מטרים.
-
- 3
-
h′(t) = −4t + 12 = 0 נותן t = 3.
-
h(3) = 18 מטרים, ובקצוות h(0) = h(6) = 0.
-