דף תרגול

משיק למעגל: ניצב לרדיוס, משיקים שווים וזווית בין משיק למיתר | תרגול רמה 3 | אתגר | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | משיק למעגל: ניצב לרדיוס, משיקים שווים וזווית בין משיק למיתר | תשפ״ז

תרגול אתגר במשיק למעגל: ניצב לרדיוס, משיקים שווים וזווית בין משיק למיתר לכיתה י׳, 5 יחידות: 6 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

להשתמש במשפט המשיק ובמשפט ההפוך
לחשב בעזרת משיקים שווים
להשתמש בזווית בין משיק למיתר על הקשת הנכונה

לפני שמתחילים

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

המשיק בנקודה A והמיתר AB יוצרים זווית של 38°. C על המעגל מהצד השני של AB. מצאו את ⁦∠ACB⁩ ואת ⁦∠AOB⁩.

⁦∠ACB⁩ נשענת על הקשת שבתוך הזווית, ולכן ⁦∠ACB = 38⁩.
⁦∠AOB = 2 · 38 = 76⁩.

תשובה: ⁦∠ACB = 38°, ∠AOB = 76°⁩

תרגול

PA ו־PB משיקים למעגל שמרכזו O, ו־⁦∠AOB = 140°⁩. מה גודל הזווית PAB (במעלות)?
PA ו־PB משיקים למעגל שמרכזו O. מהו הנימוק לכך ש־⁦PA = PB⁩?
1. AB קוטר במעגל
2. זווית היקפית שווה למחצית המרכזית
3. המשולשים OAP ו־OBP חופפים לפי יתר וניצב
4. PA ו־PB מקבילים
ישר משיק בנקודה A, AB מיתר, ו־D נקודה על הקשת שבתוך הזווית בין המשיק למיתר. תלמיד אמר שהזווית בין המשיק למיתר שווה ל־⁦∠ADB⁩. מה הטעות?
1. יש להשתמש בזווית היקפית הנשענת על הקשת שבתוך הזווית, ו־⁦∠ADB⁩ נשענת על הקשת האחרת
2. אין טעות
3. הזווית בין משיק למיתר תמיד 90°
4. הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית המרכזית
PA משיק בנקודה ⁦A, OA = 8⁩ ו־⁦PA = 15⁩. מה אורך OP?
ישר משיק בנקודה A למעגל שמרכזו O, AB מיתר ו־⁦∠OAB = 28°⁩. מה גודל הזווית בין המשיק למיתר AB, בצד שבו נמצא B ביחס לקוטר דרך A (במעלות)?
הנקודה A על מעגל שמרכזו O ורדיוסו 5. הנקודה P מקיימת ⁦AP = 12⁩ ו־⁦OP = 13⁩. האם הישר AP משיק למעגל?
1. לא, כי 12 גדול מ־5
2. כן, כי ⁦∠OAP = 90°⁩ לפי המשפט ההפוך של פיתגורס
3. לא, כי OP אינו קוטר
4. אי אפשר לדעת בלי זווית נתונה

תשובות לתרגול

70
1. במרובע OAPB: ⁦∠APB = 360 − 90 − 90 − 140 = 40⁩.
2. ⁦PA = PB⁩, ולכן ⁦⁦∠PAB = (180 − 40)⁩ : ⁦2 = 70⁩⁩.
המשולשים OAP ו־OBP חופפים לפי יתר וניצב
1. ⁦∠OAP = ∠OBP = 90⁩ כי משיק ניצב לרדיוס.
2. ⁦OA = OB⁩ רדיוסים ו־OP יתר משותף, ולכן המשולשים חופפים (יתר וניצב) ו־⁦PA = PB⁩.
יש להשתמש בזווית היקפית הנשענת על הקשת שבתוך הזווית, ו־⁦∠ADB⁩ נשענת על הקשת האחרת
1. הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית היקפית הנשענת על אותה קשת, הקשת שבתוך הזווית.
2. D נמצאת על הקשת הזאת, ולכן ⁦∠ADB⁩ נשענת על הקשת השנייה ואינה שווה לזווית בין המשיק למיתר.
17
1. ⁦∠OAP = 90⁩ (משיק ניצב לרדיוס).
2. ⁦OP² = 64 + 225 = 289⁩, ולכן ⁦OP = 17⁩.
62
1. הזווית בין המשיק לרדיוס OA היא 90.
2. הזווית בין המשיק למיתר: ⁦90 − 28 = 62⁩.
כן, כי ⁦∠OAP = 90°⁩ לפי המשפט ההפוך של פיתגורס
1. ⁦5² + 12² = 169 = 13²⁩, ולכן ⁦∠OAP = 90⁩.
2. ישר הניצב לרדיוס בקצהו הוא משיק (המשפט ההפוך).