דף תרגול

משיק למעגל: ניצב לרדיוס, משיקים שווים וזווית בין משיק למיתר | תרגול רמה 2 | ביסוס | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | משיק למעגל: ניצב לרדיוס, משיקים שווים וזווית בין משיק למיתר | תשפ״ז

תרגול ביסוס במשיק למעגל: ניצב לרדיוס, משיקים שווים וזווית בין משיק למיתר לכיתה י׳, 5 יחידות: 6 שאלות, רמז לכל שאלה והסבר מלא אחרי הבדיקה.

מטרות הלמידה

דוגמה פתורה לפני שמתחילים

PA ו־PB משיקים, ⁦∠APB = 70°⁩. מצאו את ⁦∠AOB⁩ ואת ⁦∠PAB⁩.

תשובה: ⁦∠AOB = 110°, ∠PAB = 55°⁩

PA ו־PB משיקים למעגל שמרכזו O, ו־⁦∠APB = 50°⁩. מה גודל הזווית AOB (במעלות)?
ישר משיק למעגל בנקודה A, ו־AB מיתר. הנקודה C על הקשת שמחוץ לזווית שבין המשיק למיתר, ו־⁦∠ACB = 40°⁩. מה גודל הזווית בין המשיק למיתר AB (במעלות)?
הזווית בין המשיק בנקודה A לבין המיתר AB היא 35°. מה גודל הזווית המרכזית AOB הנשענת על הקשת שבתוך הזווית (במעלות)?
הנקודה A על מעגל שמרכזו O, וישר ℓ עובר דרך A וניצב ל־OA. מה ניתן להסיק?
1. ℓ עובר דרך המרכז
2. ℓ משיק למעגל בנקודה A
3. ℓ חותך את המעגל בשתי נקודות
4. ℓ מקביל ל־OA
PA ו־PB משיקים למעגל, ו־⁦∠APB = 40°⁩. מה גודל הזווית PAB (במעלות)?
המרחק מהנקודה P למרכז המעגל הוא 10, ורדיוס המעגל 6. מה אורך המשיק מ־P למעגל?

130
1. ⁦∠OAP = ∠OBP = 90⁩ (משיק ניצב לרדיוס).
2. סכום הזוויות במרובע OAPB הוא 360, ולכן ⁦∠AOB = 360 − 90 − 90 − 50 = 130⁩.
40
1. הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת (הקשת שבתוך הזווית).
2. ⁦∠ACB⁩ נשענת על הקשת הזאת, ולכן הזווית היא 40.
70
1. הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית היקפית על אותה קשת, 35.
2. הזווית המרכזית על הקשת הזאת: ⁦2 · 35 = 70⁩.
ℓ משיק למעגל בנקודה A
1. לפי המשפט ההפוך: ישר הניצב לרדיוס בקצהו שעל המעגל הוא משיק.
2. לכן ℓ משיק בנקודה A.
70
1. ⁦PA = PB⁩ משיקים מאותה נקודה, ולכן המשולש PAB שווה שוקיים.
2. ⁦⁦∠PAB = (180 − 40)⁩ : ⁦2 = 70⁩⁩.
8
1. המשיק ניצב לרדיוס, ולכן OP הוא יתר במשולש ישר זווית.
2. ⁦PA² = 100 − 36 = 64⁩, ולכן ⁦PA = 8⁩.