דף תרגול

מעגל: קשתות, מיתרים וזוויות | דף עבודה להדפסה | 10 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

מתמטיקה | כיתה י | מעגל: קשתות, מיתרים וזוויות | תשפ״ז

דף עבודה להדפסה במעגל: קשתות, מיתרים וזוויות לכיתה י׳, 5 יחידות: 10 שאלות לעבודה עצמית, ופתרונות מלאים בסוף הדף.

מטרות הלמידה

להשתמש במונחי המעגל בדיוק
לקשר בין זוויות מרכזיות, קשתות ומיתרים
לחשב זוויות היקפיות ומרכזיות ולנמק

לפני שמתחילים

סמנו את הקשת שעליה נשענת הזווית. על אותה קשת: מרכזית = פי 2 מהיקפית, והיקפיות שוות זו לזו.

תזכורת

מרכזיות שוות ⇔ קשתות שוות ⇔ מיתרים שווים.
אנך מהמרכז חוצה מיתר, זווית מרכזית וקשת.
מיתר גדול יותר קרוב יותר למרכז.
היקפית = מחצית המרכזית על אותה קשת.

שאלות

שאלה 1

במעגל שמרכזו O נתון ⁦∠AOB = 80°⁩. הנקודה C על הקשת הגדולה AB. מה גודל הזווית ACB (במעלות)?

..........................................................

שאלה 2

במעגל שמרכזו O זווית היקפית ACB שווה ל־35°. מה גודל הזווית המרכזית AOB הנשענת על אותה קשת (במעלות)?

..........................................................

שאלה 3

במעגל שמרכזו O, OM ניצב למיתר AB (M על AB). נתון ⁦AM = 6⁩. מה אורך המיתר AB?

..........................................................

שאלה 4

AB קוטר במעגל, C על המעגל ו־⁦∠CAB = 28°⁩. מה גודל הזווית CBA (במעלות)?

..........................................................

שאלה 5

במעגל שמרכזו O, OM ניצב למיתר AB ו־⁦∠AOB = 110°⁩. מה גודל הזווית AOM (במעלות)?

..........................................................

שאלה 6

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O, ו־⁦∠BAC = 65°⁩. מה גודל הזווית המרכזית BOC (במעלות)?

..........................................................

שאלה 7

רדיוס המעגל 13 ואורך המיתר AB הוא 24. מה המרחק מהמרכז O למיתר?

..........................................................

שאלה 8

במעגל שמרכזו O נתון ⁦∠AOB = 100°⁩. מה גודל הזווית OAB (במעלות)?

..........................................................

שאלה 9

במעגל שמרכזו O נתון ⁦∠AOB = 70°⁩, ו־C על הקשת הגדולה. תלמיד כתב: "⁦∠ACB = 2 · 70 = 140°⁩". מה הגודל הנכון של ⁦∠ACB⁩ (במעלות)?

..........................................................

שאלה 10

רדיוס המעגל 10, ושני מיתרים שונים באורך 16 כל אחד. מה המרחק של כל אחד מהם מהמרכז?

..........................................................

פתרונות

הצגת פתרון מלא

שאלה 1: 40

⁦∠ACB⁩ היא זווית היקפית ו־⁦∠AOB⁩ זווית מרכזית, ושתיהן נשענות על אותה קשת AB.
זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית: ⁦80 : ⁦2 = 40⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 2: 70

הזווית המרכזית גדולה פי 2 מהזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת.
⁦∠AOB = 2 · 35 = 70⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 3: 12

האנך מהמרכז למיתר חוצה את המיתר, ולכן ⁦MB = AM = 6⁩.
⁦AB = 6 + 6 = 12⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 4: 62

⁦∠ACB = 90⁩ כי היא נשענת על הקוטר.
במשולש ABC: ⁦∠CBA = 180 − 90 − 28 = 62⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 5: 55

האנך מהמרכז למיתר חוצה גם את הזווית המרכזית המתאימה.
⁦⁦∠AOM = 110⁩ : ⁦2 = 55⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 6: 130

⁦∠BAC⁩ זווית היקפית הנשענת על הקשת BC, ו־⁦∠BOC⁩ זווית מרכזית על אותה קשת.
⁦∠BOC = 2 · 65 = 130⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 7: 5

האנך OM מהמרכז חוצה את המיתר, ולכן ⁦AM = 12⁩.
במשולש ישר הזווית OMA: ⁦OM² = 13² − 12² = 25⁩.
⁦OM = 5⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 8: 40

⁦OA = OB⁩ רדיוסים, ולכן המשולש OAB שווה שוקיים.
⁦⁦∠OAB = (180 − 100)⁩ : ⁦2 = 40⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 9: 35

התלמיד הכפיל במקום לחלק: הזווית ההיקפית קטנה מהמרכזית.
⁦⁦∠ACB = 70⁩ : ⁦2 = 35⁩⁩.

הצגת פתרון מלא

שאלה 10: 6

האנך מהמרכז חוצה כל מיתר, ולכן חצי מיתר הוא 8.
⁦10² − 8² = 36⁩, ולכן המרחק הוא 6 לכל אחד מהשניים.