חשבון דיפרנציאלי | דף עבודה | 14 שאלות | כיתה י׳, 5 יחידות

תשובות לתרגול

1. 6

   1. הנגזרת נותנת את קצב השינוי בנקודה, ולא את ערך הפונקציה: f′(x)=2x.

   2. מציבים בנגזרת x=3 ומקבלים f′(3)=2·3=6. ערך הפונקציה הוא 9 ואינו השיפוע.

2. 4

   1. מחשבים את ערכי הפונקציה בקצות הקטע: f(1)=1 ו־f(3)=9.

   2. קצב השינוי הממוצע הוא (9−1)/(3−1)=4. זהו שיפוע מיתר ולא הנגזרת בקצה.

3. 4+h; הגבול 4

   1. פותחים (2+h)²=4+4h+h²; מחסרים f(2)=4 ומקבלים 4h+h².

   2. מוציאים h ומצמצמים רק כאשר h≠0: הביטוי 4+h. כש־h מתקרב לאפס מתקבל 4, ולכן f′(2)=4.

4. y=4x−3

   1. מוצאים נקודת השקה: f(2)=5 ולכן הנקודה (2,5). הנגזרת f′(x)=2x ולכן השיפוע 4.

   2. משוואת ישר דרך נקודה ושיפוע: y−5=4(x−2). פותחים ומקבלים y=4x−3 ובודקים שב־x=2 מתקבל 5.

5. 3x²−4x+1

   1. בכלל המכפלה גוזרים בכל פעם גורם אחד: f′=2x(x−2)+(x²+1)·1.

   2. פותחים ומחברים: 2x²−4x+x²+1=3x²−4x+1. מכפלת הנגזרות בלבד אינה הכלל.

6. 6(2x−1)²

   1. מזהים פונקציה פנימית u=2x−1 וחיצונית u³. נגזרת החיצונית היא 3u².

   2. מכפילים בנגזרת הפנימית 2: f′=3(2x−1)²·2=6(2x−1)². אין צורך לפתוח את הקובייה.

7. יורדת x<3; עולה x>3; מינימום (3,−9)

   1. גוזרים f′(x)=2x−6; האפס הוא x=3. לפני 3 הנגזרת שלילית ואחרי 3 היא חיובית.

   2. לכן הפונקציה יורדת עד 3 ועולה אחריו. מעבר משלילי לחיובי נותן מינימום; f(3)=9−18=−9.

8. מינימום −1 ב־x=1; מקסימום 3 ב־x=3

   1. הנגזרת 2x−2 מתאפסת ב־x=1, הנמצא בתוך הקטע. מחשבים גם בשני הקצוות.

   2. f(0)=0, f(1)=−1, f(3)=3. משווים את שלושת הערכים: המינימום −1 והמקסימום 3, ולא רק בודקים נגזרת אפס.

9. אין קיצון ב־x=1

   1. גוזרים: f′(x)=3(x−1)². הנגזרת אפס ב־1 אבל חיובית בכל נקודה אחרת.

   2. אין החלפת סימן: הפונקציה עולה משני הצדדים, ולכן משיק אופקי אינו מספיק לקיצון. הערכים f(0)=−1 ו־f(2)=1 מראים את המשך העלייה.

10. y=3

    1. משווים נגזרת לאפס: f′=2x−4 ולכן x=2. אין זה עדיין ישר המשיק.

    2. מחשבים f(2)=4−8+7=3. משיק אופקי דרך (2,3) הוא y=3; x=2 הוא ישר אנכי ואינו המשיק.

11. A(x)=x(10−x); 0<x<10; מקסימום 25 סמ״ר ב־x=5

    1. מההיקף: 2x+2y=20 ולכן y=10−x. צלעות חיוביות מחייבות 0<x<10, והשטח A=x(10−x).

    2. גוזרים A′=10−2x ומתאפס ב־5. הנגזרת חיובית לפני 5 ושלילית אחריו ולכן זה מקסימום; A(5)=25 סמ״ר.

12. אפסים 0,3; מקסימום (0,0), מינימום (2,−4); משיק y=−3x+1

    1. זהו פולינום ולכן התחום כל הממשיים. מפרקים f=x²(x−3): חיתוכי x הם 0 ו־3; חיתוך y הוא (0,0).

    2. f′=3x(x−2). סימנים: חיובי לפני 0, שלילי בין 0 ל־2, חיובי אחרי 2. לכן מקסימום מקומי (0,0) ומינימום מקומי (2,−4).

    3. ב־x=1 מתקבלים f(1)=−2 ו־f′(1)=−3. המשיק y+2=−3(x−1), כלומר y=−3x+1. הסימנים והחיתוכים מספיקים לסקיצה, בלי להסיק קעירות.

13. f′=(2x−1)(6x−1); מקסימום (1/6,2/27); מינימום (1/2,0)

    1. משלבים מכפלה והרכבה: f′=(2x−1)²+x·2(2x−1)·2=(2x−1)(6x−1).

    2. האפסים 1/6 ו־1/2. סימן הנגזרת חיובי לפני 1/6, שלילי ביניהם וחיובי אחרי 1/2.

    3. לכן מקסימום מקומי ב־1/6: ערך (1/6)·(−2/3)²=2/27. מינימום מקומי ב־1/2 עם ערך 0. אלה אינם קיצונים מוחלטים על כל הממשיים.

14. 8 יחידות שטח ב־x=2

    1. הניצבים הם x ו־12−x², לכן S(x)=x(12−x²)/2. התחום מבטיח אורכים לא־שליליים; בקצותיו מתקבל שטח אפס.

    2. גוזרים S′=6−1.5x². האפס בתחום x=2. הנגזרת חיובית לפני 2 ושלילית אחריו ולכן מקסימום.

    3. מחשבים S(2)=2(12−4)/2=8 ומשווים לקצוות 0. זה מודל גאומטריה במישור לכיתה י׳, לא מיפוי לשאלון בגרות.